Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Dimension

Introduction

Wiktprintable without text.svg

Voir « dimension » sur le Wiktionnaire.

Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...), sa largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est...) et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer qu'une...) si c'est une pièce de révolution.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) et en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), la notion de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) signifie d'abord le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de directions indépendantes, puis a été étendu.

Technique

Dans le domaine de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement,...), le terme « dimension » renvoie à la taille d'une pièce.

Dans l'absolu, les dimensions d'une pièce peuvent être choisies de manière totalement arbitraire, l'important étant qu'elles soient compatibles avec l'utilisation finale de la pièce. Dans un but de normalisation, il est toutefois préférable d'utiliser comme dimensions linéaires nominales des valeurs de la « série de Renard ».

Dans la pratique de tous les jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son...), le terme renvoie à la taille d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini...). Nous avons par exemple

  • objet de 350 × 250 × 255 mm.
  • description : (L)ongueur × (l)argeur × (h)auteur.
  • forme : D = (L × l × h)

Mathématiques

Dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.)

En algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations...), la dimension d'un espace vectoriel E sur un corps K est le cardinal commun à toutes les bases de E. Une base est une famille libre maximale ou une famille génératrice minimale. Si ce cardinal est fini, il représente le nombre de vecteurs de base à introduire pour écrire les coordonnées d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...). Cette notion conduit à la classification des espaces vectoriels : deux espaces vectoriels sur K sont isomorphes si ils ont même dimension.

Par exemple, l'espace vectoriel réel des suites réelles est de dimension infinie. Dans un tel espace, il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

Dimension d'une variété topologique ou d'une variété différentiable

La dimension d'une variété topologique est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés...) courbée de la notion de dimension d'un espace vectoriel. Comme une variété topologique est définie par recollement de morceaux homéomorphes à des ouverts des espaces vectoriels \R^n ou \mathbb{C}^n, on dit que cette variété est de dimension n. Il en est de même pour la dimension d'une variété différentielle : sa dimension est la dimension de l'espace vectoriel dans lequel on choisit les ouverts pour fabriquer les cartes locales.

Dimension fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un néologisme créé par...)

Construction de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles...) de von Koch

Approche didactique

Mais la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la « dimension » donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) ci-dessus est insuffisante, notamment dans le cas des fractales.

De manière simplifiée et en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) (voir Fractale pour une meilleure définition), un objet fractal est un objet ayant une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi...) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon...), c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, le flocon de Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron (Chevron: Pièce de bois taillée, constituant une partie de la charpente d'une toiture, de section rectangulaire, disposé dans un intervalle de 60-75 cm afin de recevoir la sous-toiture sur laquelle sera installée la couverture d'une...) au milieu.

On répète cette opération à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou...). Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) ordinaire). Sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3, et qu'il y a un nombre infini d'étapes. Pourtant, et contrairement à une droite infinie, on peut toujours trouver une courbe de longueur finie aussi proche que l'on veut de la courbe de von Koch. On peut donc dire en fait que si on trouve que la longueur de la courbe de von Koch est infinie, c'est qu'on l'évalue dans une « mauvaise » dimension, et qu'en mesurant « mieux », on aurait une mesure « utile », finie.

Nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires et les besoins...) de revenir sur la notion d'étalon en physique :

  • L'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) : pour mesurer une longueur, on regarde combien de règles tiennent bout-à-bout sur la courbe ;
  • L'étalon de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) : pour mesurer la surface, on regarde combien de carreaux on peut poser côte-à-côte sur la surface ;
  • L'étalon de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) est un pavé (Un pavé est un bloc de forme cubique ou parallélépipédique en pierre ou en béton utilisé dans le domaine de la construction pour le revêtement de sols ou de chaussées par pavage. Il existe également des pavés en bois. Les voies romaines...) (cube) d'arête fixe (dimension 3) : pour mesurer le volume, on regarde combien de pavés on peut empiler dans l'objet.

On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point (Graphie) ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x =...) sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles côte-à-côte (celles-ci ont une épaisseur nulle).

De même, on ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut empiler un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle).

On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimensions, puisqu'on ne peut pas mettre de pavé dans un point, une courbe ni une surface.

Ainsi, si l'on appelle do la dimension de l'objet et de celle de l'étalon, on a :

  • si de > do, la mesure donne 0 : on ne peut pas mettre un seul étalon dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une aire, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement inférieure à 2.
  • si de < do, la mesure donne ∞ : on peut mettre autant d'étalons qu'on veut dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une longueur, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement supérieure à 1.
  • si de = do, la mesure peut donner (si l'objet mesuré n'est pas infini) un nombre fini, le nombre d'étalons qu'il faut pour couvrir l'objet ; notre problème est donc de trouver (si elle existe) la « bonne » dimension, celle qui nous donnera une mesure finie (si l'objet est fini).
Mesure approchée de la longueur d'une courbe : M(ℓ) ≈ N×ℓd avec d = 1
Mesure approchée de l'aire d'une surface : M(ℓ) ≈ N×ℓd avec d = 2
Mesure approchée d'une courbe de von Koch : la longueur « linéaire » tend vers l'infini, tandis que la longueur « fractale » tend vers 1

Pour faire cette mesure, la « taille » de l'étalon n'est pas sans effet. Si l'étalon est trop grand, il ne rentre pas dans l'objet (la mesure est nulle), mais en prenant des étalons de plus en plus petits, on obtient (d'habitude) des mesures qui se rapprochent. Si, pour mesurer une ligne, on utilise une règle de longueur ℓ, plus ℓ est petit, plus on pourra mettre d'étalons dans l'objet à mesurer. La mesure est le produit du nombre d'étalons par la taille de l'étalon : Si l'on fait tenir N règles de longueur ℓ, la mesure sera

M(ℓ) = N×ℓ

Pour un carreau de côté ℓ, l'aire du carreau sera ℓ², et si l'on couvre la surface de N carreaux, la mesure sera

M(ℓ) = N×ℓ²

Pour un pavé d'arrête ℓ, le volume du pavé sera ℓ3, et si l'on rempli l'objet de N pavés, la mesure sera

M(ℓ) = N×ℓ3

On voit que la dimension est aussi l'exposant (Exposant peut signifier:) intervenant dans le calcul de la mesure.

Dans le cas d'une ligne habituelle, lorsqu'on utilise une règle de longueur ℓ divisée par deux (ou par trois, quatre,… N), on peut mettre à peu près deux (respectivement trois, quatre,… N) fois plus de fois l'étalon dans l'objet : la mesure ne change presque pas, et finalement, au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située...) et à mesure qu'on réduit la taille de l'étalon, on obtient une suite de mesures qui converge : la longueur exacte de la courbe est la limite de M(ℓ) lorsque ℓ tend vers 0, c'est un nombre réel.

Prenons l'exemple d'une surface ; lorsqu'on la pave des carreaux, on n'obtient qu'une approximation de son aire (on approche la surface par un polygone). Si l'on fait tenir N règles de longueur ℓ, la mesure sera

M(ℓ) = N×ℓ 2

L'aire exacte de la courbe est la limite de M(ℓ) lorsque ℓ tend vers 0. Par contre

M(ℓ) = N×ℓ

tend vers +∞, et

M(ℓ) = N×ℓ 3

tend vers 0. On retrouve par le calcul ce que l'on a établi par géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...).

Dans le cas de la courbe de von Koch, on voit bien que lorsqu'on divise l'étalon de longueur par 3, on peut mettre 4 fois plus d'étalons. Du coup, la suite de mesures de longueur

M(ℓ/3) = Nℓ/3 ×(ℓ/3) 1 = 4N ×ℓ 1/3 = 4/3 × M(ℓ) > M(ℓ)

ne converge pas et la suite de mesures d'aire

M(ℓ/3) = Nℓ/3 ×(ℓ/3) 2 = 4Nℓ/3 ×ℓ 2/9 = 4/9 × M(ℓ) < M(ℓ)

tend vers 0.

Mais il est possible d'imaginer une dimension fractionnaire, de faire varier de façon continue la « dimension ». Et de fait, pour la dimension

do = log 4/log 3 ≈ 1,261 9.

on peut faire converger la mesure pour la courbe de von Koch en prenant :

M(ℓ) = N ×ℓ do

Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch.

Les principales définitions

Il existe plusieurs définitions utiles pour la dimension fractale d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...). Ces définitions ne sont pas équivalentes et, dans le cas général, ne donnent donc pas toutes les mêmes valeurs. Il est conjecturé (Schroeder,1991) qu'elles sont égales dans le cas d'ensembles fractals strictement auto-similaires.

  • La dimension de Hausdorff-Besicovitch est la plus courante car d'application plus universelle:
  • La dimension de Minkowski-Bouligand ou Box-countig est plus simple à mettre en oeuvre pour mesurer numériquement la dimension d'une fractale, :
  • La dimension d'homothétie est la traduction simple de la dimension de Hausdorff applicable aux seuls ensembles fractals a homothétie interne. La dimension d'homothétie prend sa définition par le quotient logarithmique entre un nombre d'homothéties internes d'un objet, sur l'inverse de la raison de cette homothétie. Donc,
D_h = \frac{\ln(N)}{\ln(\frac{1}{r})}.

On aura donc, pour un point :

D_h = \frac{\ln(1)}{\ln(n)}= 0 avec n naturel > 1,

vu qu'on peut établir un point par une homothétie interne de raison n. On peut dire « un point est le produit de n homothéties internes de ce même point, de raison n ».

Avec une droite (segment), il peut s'établir avec deux homothéties internes de raison 1/2, donc

D_h = \frac{\ln(2)}{\ln\left (\frac{1}{\frac{1}{2}} \right )}= \frac{\ln(2)}{\ln(2)} = 1.

De cette façon, on trouve pour les formes et objets euclidiens, un isomorphisme entre ces deux dimensions établies. Cependant, des grandes différences se présentent avec les fractales.

Dimension topologique (On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace métrisable à base dénombrable E. Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention ; sinon on...)

La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :), à n si P est d'intérieur non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

Dimension en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) commutative et en géométrie algébrique

En géométrie algébrique, l'espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans...) sous-jacent à une variété algébrique ou un schéma est relativement grossier (ne comporte pas beaucoup de parties ouvertes). La notion adéquate est celle de dimension de Krull qui mesure la longueur maximale de chaines de parties fermées irréductibles. Elle correspond à l'intuition (dimension vectorielle; dimension topologique) le cas échéant (espace affine; variétés sans point singulier sur le corps des nombres réels).

Pour un anneau commutatif unitaire A, sa dimension est la dimension de Krull du spectre premier Spec A. Par exemple, un corps est de dimension 0, alors que l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et à n variables est de dimension n.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

La liste des auteurs de cet article est disponible ici.