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Discriminant

Introduction

Incidence du signe du discriminant sur les racines de l'équation du second degré à coefficients réels.

En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs,...) et d'une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .). Le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour...) apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple.

Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant.

Polynôme du second degré

Résolution de l'équation à coefficients réels

Considérons une équation du second degré, ici a, b et c sont trois coefficients réels tel que a est différent de zéro :

ax^2 + bx + c = 0 \;

Discriminant de l'équation du deuxième degré —  Le discriminant de l'équation précédente est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) Δ défini par :

\Delta = b^2 - 4ac\;

La connaissance du discriminant permet de résoudre l'équation :

Résolution de l'équation —  Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double :

ax^2 + bx + c =a(x + \frac b{2a})^2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}\;

Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Résolution de l'équation à coefficients complexes

Si les coefficients a, b et c sont complexes ou si les solutions complexes de l'équation sont admises, la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un...) est un peu différente. Le théorème de d'Alembert-Gauss précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme l'énonçait...) des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur δ tel que son carré δ2 soit égal à Δ :

Racines complexes —  Si le discriminant est différent de zéro, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double égal à -b / 2a.

Discriminant réduit

Si on écrit l'équation du second degré sous la forme suivante :

ax^2 + 2b'x + c = 0 \;

Il devient plus simple d'utiliser une autre expression :

Discriminant réduit —  Le discriminant réduit de l'équation précédente est le nombre Δ' défini par :

\Delta' = b'^2 - ac\;

L'expression des racines, si elles existent, devient :

x_1 = \frac {-b' + \delta'}{a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \delta'}{a}\quad \text{avec}\quad \delta'^2 = \Delta' = b'^2 - ac

Exemples

Cherchons à résoudre l'équation suivante :

5x^2 - 5x + 1 = 0 \;

Le calcul du discriminant Δ et des racines x1 et x2 donne :

 \Delta = (-5)^2 -4.5.1=5\quad \text{et}\quad x_1 = \frac {5 + \sqrt 5}{10},\quad x_2 = \frac {5 - \sqrt 5}{10}

Dans le cas de l'équation suivante, on remarque que le discriminant réduit est nul, il n'existe qu'une racine égale à -3.

x^2 + 6x + 9 = 0 \quad\text{et}\quad x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\;

Le dernier exemple décrit une situation où le discriminant est strictement négatif, ici égal à -3. On remarque de i√3 est une racine carrée du discriminant, si i désigne l'unité imaginaire. Ce qui permet de déterminer les solutions :

x^2 + x + 1 = 0 \quad\text{et}\quad x_1 = - \frac 12 + i\frac \sqrt 32,\quad x_1 = - \frac 12 - i\frac \sqrt 32

On peut remarquer que ces deux racines sont des racines de l'unité. A la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) trois, ces racines ont pour valeur un. Le polynôme choisi est un cas particulier de polynôme cyclotomique.

Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre...) en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) deux

Si le discriminant de la forme quadratique est négatif, l'ensemble des points de R2 défini par φ(x, y) = a est une hyperbole. Si a est positif, on obtient une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) analogue à celle en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520...), si a est négatif en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un récepteur, appelé cône M,...). Si a est égal à zéro l'hyperbole est dégénérée, on obtient la figure rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.).

Sur l'ensemble des nombres réels, une forme quadratique φ en dimension deux associe à deux variables x et y un nombre à l'aide de la formule suivante :

\varphi(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \quad\text{avec}\quad a,b,c \in \mathbb K

Une forme quadratique possède aussi une expression matricielle :

 \varphi(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & \frac b2 \\ \frac b2 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}

Le déterminant de l'expression matricielle est égal à -1/4(b2 - 4ac), on retrouve une expression proche de la précédente. Un changement de base, à l'aide d'une matrice de passage (Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.) P modifie la valeur du déterminant. Plus exactement la valeur dans la nouvelle base est égale à la valeur dans l'ancienne base que multiplie le carré du déterminant de P, le signe du déterminant reste invariant. Cette propriété est analysée dans l'article détaillé.

Pour cette raison, il existe trois définitions différentes du discriminant d'une forme quadratique en dimension deux. Le discriminant d'une forme quadratique dans une base B est le déterminant de la matrice associée à la forme quadratique dans la base B. L'analogie avec la situation précédente permet de définir le discriminant de la forme quadratique comme étant égal à b2 - 4ac. Enfin, comme le seul invariant associé au déterminant de la forme quadratique, le discriminant est aussi défini comme le signe du déterminant qui peut prendre les valeurs +1, 0 ou -1.

Le discriminant sépare les formes quadratiques en trois familles. En dimension deux, avec pour définition du discriminant la valeur du déterminant dans la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la...), si le discriminant est de signe positif pour une valeur a donnée l'ensemble Ea des points (x, y) vérifiant φ(x, y) = a correspond à une ellipse ou à l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Si le discriminant est nul, alors l'ensemble Ea correspond à une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône....). Si le discriminant est négatif, Ea est une hyperbole. Les formes quadratiques permettent ainsi d'obtenir les trois différentes formes de coniques.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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