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Division

Introduction

La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par ce nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».)".

On distingue couramment la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la division euclidienne). Le résultat d'une division s'appelle le quotient.

Problématique

La division sert :

  • à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, et donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple :
Question : Si on répartit équitablement 500 grammes de poudre (La poudre est un état fractionné de la matière. Il s'agit d'un solide présent sous forme de petits morceaux, en général de taille inférieure au dixième de millimètre...) de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elle obtiendra-t-elle ?
Réponse : \dfrac{500}{8} = 62,5, chacun obtient 62,5 grammes de poudre de perlimpimpin
  • à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple :
Question : Si on répartit 500 grammes de poudre de perlimpimpin par tranche de 70 g, combien de personnes pourra-t-on servir ?
Réponse : \dfrac{500}{70} = 7,14.. , on pourra servir 7 personnes et il restera de quoi servir 1/7 de personne (...)

Définition

Étant donné un anneau intègre (A, +, ×), la division sur A est la loi de composition : A\times A \to A, notée par exemple « ÷ », telle que \forall (a,b,c)\in A\times A\times A, a ÷ b = c si et seulement si b × c = a.

L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur A\times(A-\{0\}) si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0.

Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) A: Dans le cas commutatif, on définit sur A\times A une relation d'équivalence \sim par (a,b)\sim(a',b')\iff a\times b' = a'\times b et on écrit a ÷ b la classe de (a,b) dans l'anneau quotient. Cet anneau quotien est un corps dont le neutre est la classe 1 ÷ 1. C'est ainsi que l'on construit \mathbb{Q} en symétrisant \mathbb{Z} pour la multiplication (ou \mathbb{Z} à partir de \mathbb{N} en symétrisant l'addition).

Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) est radicalement différent.

Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque \forall (a,b)\in \mathbb{N}\times(\mathbb{N}-\{0\}), \{n\in\mathbb{N}\ |\ b\times n<=a\} est une partie de \mathbb{N} non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et majorée, qui admet donc un plus grand élément.

Cette division, fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes....), introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le b de la définition ne peut être zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...), en effet, une division par 0 donnerait un résultat infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...).

Vocabulaire et notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la droite » ou vice versa.) séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, a divisé par b se note \dfrac ab.

Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère : \dfrac 34 indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a troistrois quarts

Diophante et les Romains, au IVe siècle écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au XIIe siècle et la notation moderne fut adoptée par les Arabes.

Le symbole : a été plus tard utilisé par Leibniz.

Les fabricants de calculatrices impriment les symboles ÷ ou / sur la touche « opérateur division ». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture « en ligne » utilisée en imprimerie ou sur un écran (Un moniteur est un périphérique de sortie usuel d'un ordinateur. C'est l'écran où s'affichent les informations saisies ou demandées par l'utilisateur et générées ou restituées par l'ordinateur, sous forme de texte et...).

Aujourd'hui en France, en classe de 6e de collège (Un collège peut désigner un groupe de personnes partageant une même caractéristique ou un établissement d'enseignement.), les notations ÷, : et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est communément admise :

  • a ÷ b et a : b désignent une opération (non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour a et diviseur pour b ;
  • \dfrac{a}{b} et a / b désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour a et dénominateur pour b.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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