Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Gearbest Page Spécial sur les nouveaux clients, Grande Réduction @GearBest! promotion
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Idéal

Introduction

En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible d'énoncer des versions très générales de théorèmes d'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle...) tels que le théorème des restes chinois (Le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique traitant de résolution de systèmes de congruences. Ce résultat se généralise en théorie des anneaux. Ce théorème est utilisé en théorie...) ou le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.) fondamental de l'arithmétique, valables pour les idéaux. On peut aussi comparer cette notion à celle de sous-groupe distingué pour la structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement...) de groupe en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) qu'elle permet de définir la notion d'anneau quotient.

Aspect historique

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou l’expérience,...) des idéaux est relativement récente puisque elle fut créée par Richard Dedekind vers la fin du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...). À cette époque, une partie de la communauté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) s'intéresse aux nombres algébriques et plus particulièrement aux entiers algébriques.

La question est de savoir si les entiers algébriques se comportaient comme les entiers relatifs, en particulier la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant...) en facteurs premiers de manière unique. Il semblait bien, dès le début du XIXe siècle, que cela n'était pas toujours le cas : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau \mathbb Z[i\sqrt{5}] sous la forme 2 \times 3 ou sous la forme (1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})

Ernst Kummer pressent alors que cela va dépendre des nombres en question et invente la notion de nombres complexes idéaux.

L'idée est de rendre unique la décomposition en facteurs premiers en ajoutant artificiellement d'autres nombres (de la même manière qu'on ajoute i aux nombres réels tel que i2 = − 1 afin de disposer de nombres aux carrés négatifs). Dans l'exemple ci-dessus, on va "inventer" quatre nombres "idéaux" a, b, c et d tels que :

2 = a \cdot b
3 = c \cdot d
1 + i\sqrt{5} = a \cdot c
1 - i\sqrt{5} = b \cdot d

Ainsi, 6 se décomposera alors de manière unique en :

6 = a \cdot b \cdot c \cdot d

C'est Dedekind en 1871 qui reprend la notion de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon...) de Kummer et qui crée la notion d'idéal dans un anneau. Il s'intéresse principalement aux anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire à des anneaux commutatifs, unitaires et intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des idéaux d'un anneau commutatif, unitaire et intègre des opérations semblables à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme algèbre abstraite est utilisé...), mais aussi dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

Morphisme d'anneau

Un idéal joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir...), pour les anneaux, le même rôle que les sous-groupes normaux pour les groupes.

  • Soit A et B deux anneaux et φ un morphisme de A dans B, alors le noyau de φ est un idéal bilatère.
  • Soit A un anneau et I un idéal bilatère de A, alors le groupe quotient A/I peut être muni d'une unique structure d'anneau telle que la surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que f(x) = y. On dit alors que tout élément y de Y admet au...) canonique de A dans A/I soit un morphisme d'anneaux. Cf. section ci-dessous.
  • Soit A et B deux anneaux, φ un morphisme d'anneau de A dans B. Notons s l'application canonique de A dans l'anneau quotient A/I et i le morphisme de φ(A) dans B qui à b associe b. Alors, i est une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :), s une surjection et il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas...) b tel que :
\phi = i\circ b\circ s
  • Soit A et B deux anneaux et \varphi un morphisme d'anneau de A dans B. Alors:
    • Si J est un idéal bilatère de B alors \varphi^{-1}(J) est un idéal bilatère de A. Si, de plus, J est un idéal premier de B, alors \varphi^{-1}(J) est un idéal premier de A. Il n'y a en revanche pas de résultat analogue pour les idéaux maximaux.
    • Si φ est un morphisme d'anneaux surjectif de A dans B, alors pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) idéal bilatère I de A, φ(I) est un idéal bilatère de B.
    • La propriété ci-dessus n'est en général pas vraie si φ n'est pas surjectif. On peut prendre par exemple A=ℤ, B=ℚ et φ l'inclusion canonique. Alors φ(I) n'est un idéal de ℚ que si I est l'idéal nul.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

La liste des auteurs de cet article est disponible ici.