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Idéal

Introduction

En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible d'énoncer des versions très générales de théorèmes d'arithmétique tels que le théorème des restes chinois ou le théorème fondamental de l'arithmétique, valables pour les idéaux. On peut aussi comparer cette notion à celle de sous-groupe distingué pour la structure algébrique de groupe en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) qu'elle permet de définir la notion d'anneau quotient.

Aspect historique

La théorie des idéaux est relativement récente puisque elle fut créée par Richard Dedekind vers la fin du XIXe siècle. À cette époque, une partie de la communauté mathématique s'intéresse aux nombres algébriques et plus particulièrement aux entiers algébriques.

La question est de savoir si les entiers algébriques se comportaient comme les entiers relatifs, en particulier la décomposition en facteurs premiers de manière unique. Il semblait bien, dès le début du XIXe siècle, que cela n'était pas toujours le cas : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau \mathbb Z[i\sqrt{5}] sous la forme 2 \times 3 ou sous la forme (1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})

Ernst Kummer pressent alors que cela va dépendre des nombres en question et invente la notion de nombres complexes idéaux.

L'idée est de rendre unique la décomposition en facteurs premiers en ajoutant artificiellement d'autres nombres (de la même manière qu'on ajoute i aux nombres réels tel que i2 = − 1 afin de disposer de nombres aux carrés négatifs). Dans l'exemple ci-dessus, on va "inventer" quatre nombres "idéaux" a, b, c et d tels que :

2 = a \cdot b
3 = c \cdot d
1 + i\sqrt{5} = a \cdot c
1 - i\sqrt{5} = b \cdot d

Ainsi, 6 se décomposera alors de manière unique en :

6 = a \cdot b \cdot c \cdot d

C'est Dedekind en 1871 qui reprend la notion de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) idéal de Kummer et qui crée la notion d'idéal dans un anneau. Il s'intéresse principalement aux anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire à des anneaux commutatifs, unitaires et intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des idéaux d'un anneau commutatif, unitaire et intègre des opérations semblables à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature,...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'algèbre générale, mais aussi dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

Morphisme d'anneau

Un idéal joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.), pour les anneaux, le même rôle que les sous-groupes normaux pour les groupes.

  • Soit A et B deux anneaux et φ un morphisme de A dans B, alors le noyau de φ est un idéal bilatère.
  • Soit A un anneau et I un idéal bilatère de A, alors le groupe quotient A/I peut être muni d'une unique structure d'anneau telle que la surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que f(x) = y. On dit alors que tout élément y de Y...) canonique de A dans A/I soit un morphisme d'anneaux. Cf. section ci-dessous.
  • Soit A et B deux anneaux, φ un morphisme d'anneau de A dans B. Notons s l'application canonique de A dans l'anneau quotient A/I et i le morphisme de φ(A) dans B qui à b associe b. Alors, i est une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :), s une surjection et il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit...) b tel que :
\phi = i\circ b\circ s
  • Soit A et B deux anneaux et \varphi un morphisme d'anneau de A dans B. Alors:
    • Si J est un idéal bilatère de B alors \varphi^{-1}(J) est un idéal bilatère de A. Si, de plus, J est un idéal premier de B, alors \varphi^{-1}(J) est un idéal premier de A. Il n'y a en revanche pas de résultat analogue pour les idéaux maximaux.
    • Si φ est un morphisme d'anneaux surjectif de A dans B, alors pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) idéal bilatère I de A, φ(I) est un idéal bilatère de B.
    • La propriété ci-dessus n'est en général pas vraie si φ n'est pas surjectif. On peut prendre par exemple A=ℤ, B=ℚ et φ l'inclusion canonique. Alors φ(I) n'est un idéal de ℚ que si I est l'idéal nul.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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