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Infini

Introduction

Le

Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) ou en taille.

En mathématiques

On rencontre les grandeurs infinies dans plusieurs branches des mathématiques, sous le double aspect du nombre par la théorie des cardinaux et de l'espace par la théorie de la mesure. Ces deux aspects ne se recouvrent pas nécessairement, ainsi un segment ou un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et...) ont une infinité de points mais une mesure finie.

En théorie des ensembles

Un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) E est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de N, ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion.

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes,...) est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) entre lui et N. Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que Q+ est dénombrable, voir la méthode.

L'ensemble N2 = N x N des couples d'entiers naturels est lui aussi dénombrable, car à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple (p,q), on peut associer le nombre n = [(p+q)(p+q+1)/2] + p, et on vérifiera aisément que la fonction ainsi définie est injective.

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des couples est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme. Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi...) des entiers et ne peut être fini, sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.

Si l'on admet l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) du choix, et seulement à cette condition, tout ensemble E est en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition le cardinal de E.

Le cardinal d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) est un nombre entier naturel.

Le cardinal d'un ensemble infini est dit « transfini ». Le cardinal (on parle aussi de « puissance ») des ensembles infinis dénombrables est noté \aleph_0 (« aleph-zéro »).

Ensembles infinis non dénombrables

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec N. On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Ainsi en est-il de l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels forment un corps commutatif totalement ordonné R, archimédien et tel que toute partie majorée admette une borne supérieure ; R est l'unique corps, à l'isomorphisme près, à satisfaire ces propriétés ; c'est le sur-corps minimal de Q à satisfaire le critère de Cauchy.

L'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est déjà non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) de Cantor.

On dit que R a la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu, sa puissance (ou son cardinal) est 2^{\aleph_0}, le cardinal de l'ensemble des parties de N. L'argument diagonal (Dans les preuves mathématiques, notamment celles de logique mathématique, l'argument diagonal est un mécanisme de construction réflexive menant le plus souvent à une impossibilité. Une telle...) de Cantor montre du même coup que \aleph_1, le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à 2^{\aleph_0} (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l' hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie...).

En géométrie

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre perception, développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point (Graphie) sur le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :); ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon (Conceptuellement, l’horizon est la limite de ce que l'on peut observer, du fait de sa propre position ou situation. Ce concept simple se décline en physique, philosophie, littérature, et bien d'autres...) du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D).

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle...) usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette...) de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

En optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) géométrique

  • Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) situé « à l'infini » est une source émettant des rayons lumineux parallèles,
  • Une image se forme « à l'infini » quand les rayons lumineux qui la forment sont parallèles.

Un œil normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum).

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).)

compactification

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la...) localement compact permet de rendre cet espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en topologie...). Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit (E,U\,) un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace ( E\cup\{\infty\}, U'\,), où \infin est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans E\cup\{\infty\} des compacts de (E,U\,).

On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U'\ U.

complétion

On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, usuellement de deux manières possibles :

  • soit en le complétant du point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) algébrique par l'ajout d'un élément , qui devient formellement un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...) de 0. C'est un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.) de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...) et du produit en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) que (∀x∈ R)  x ≠ 0 ⇒  ∞ + x = ∞ ∧ ∞ × x = ∞. Par contre, le produit ∞ × 0 n'est pas défini.
On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère ordonné. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.
  • par l'ajout de deux éléments +∞ (on omet le signe + si on ne risque pas de confusion avec ce qui précède) et -∞. On considère que +∞ est plus grand que tout nombre réel et que -∞, et que -∞ est plus petit que tout autre élément y compris +∞. L'ensemble ainsi obtenu est totalement ordonné, mais perd sa structure de corps, ainsi que ses propriétés algébriques. Du point de vue topologique, c'est un espace compact, pour une topologie respectant sa structure d'ordre. Cela lui confère la même topologie qu'un intervalle fermé, par exemple [-1,1].
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