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Moyenne

Extensions de la notion de moyenne

Au delà des définitions précédentes de moyenne, il existe d'autres approches plus étendues pour cette notion :

Moyenne glissante

La moyenne glissante est une notion statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble...), où la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) au lieu d'être calculée sur n valeurs fixes, est calculée sur n valeurs consécutives « glissantes ».

Ce type de calcul est aussi utilisé en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par...) pour minimiser la taille mémoire nécessaire au stockage des valeurs intermédiaires. Différentes formules de moyennes glissantes existent, par exemple pour une moyenne glissante de période n :

 \bar{x}_0 = x_0 (une moyenne glissante de période 0 ne prend qu'un terme)
 \bar{x}_n = \frac{\bar{x}_{n-1} \cdot (n-1) + x_n}{n} (formule de récurrence)

Moyenne réduite

C'est une fonction disponible dans le logiciel (En informatique, un logiciel est un ensemble d'informations relatives à des traitements effectués automatiquement par un appareil informatique. Y sont inclus les...) Excel qui sert à exclure des valeurs hors norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à...) qui faussent la moyenne. La syntaxe est la suivante : MOYENNE.REDUITE(matrice;pourcentage) La donnée "matrice" est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement la plage (La Plage est un film anglo-américain réalisé par Danny Boyle en 2000 et adapté du roman The Beach d'Alex Garland) de donnée sur laquelle porte le calcul de moyenne. Le pourcentage (Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction dans un ensemble. Une expression comme « 45 % » (lue « 45 pour cent ») est en...) est une donnée qui donne à la fonction l'information sur le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de valeurs à exclure.Ce nombre est arrondi (Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre obtenue, à partir de son développement décimal, en réduisant le nombre de chiffres significatifs. Le résultat est moins précis, mais plus...) au nombre pair le plus proche car la fonction enlève systématiquement un nombre de plus grandes valeurs et un même nombre de plus petite valeurs, ce qui en tout fait un nombre pair de valeurs à exclure.

Moyenne pondérée

La moyenne pondérée est utilisée, en géométrie pour localiser le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de...), en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...) pour déterminer le centre de gravité ou en statistique et probabilité pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :

 \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}

Dans le cas général le poids wi représente l'influence de l'élément xi par rapport aux autres.

A noter qu'il s'agit ici de la moyenne pondérée arithmétique. Il existe aussi des versions pondérées des autres moyennes, comme la moyenne géométrique pondérée et la moyenne harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui...) pondérée.

Valeur moyenne d'une fonction

Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment [a, b] non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et non trivial (ie b > a), la valeur moyenne de ƒ sur [a, b] est le réel m défini par :

m = \frac{1}{b-a} \times \int_{a}^{b} f(x)\, dx

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les...), pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

On peut aussi, par analogie avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonction poids

w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb R^{+*}

(w pour l'initiale de weight, poids en anglais) :

m_w = \frac{\int_{a}^{b} f(x) \cdot w(x)\, dx}{\int_{a}^{b} w(x)\, dx}.

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (ie aucune de ses bornes n'est infinie) où la fonction ƒ×w est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :

{2\over \pi}\,\int_{[0,1[}{T_n(x) \cdot T_p(x)\over\sqrt{1-x^2}}\,dx

où la fonction Tn×Tp est continue sur le fermé [0,1] et où la fonction poids est

w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb R^{+*},\;x\mapsto {1\over\sqrt{1-x^2}}

est intégrable sur [0,1[, et dont l'intégrale vaut \pi\over 2.

Nota : Lorsque la fonction est périodique de période T, elle a la même valeur moyenne sur toute période [a, a + T]. Cette valeur commune est appelée valeur moyenne de la fonction. Ainsi la fonction cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques....) est de moyenne nulle, son carré de moyenne 1/2.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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