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Nombre

Introduction

La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».


Un nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notion, les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, voire pour appréhender l’infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...).

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de...), les grandeurs sans dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) sont souvent appelées « nombres », tels le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

En dehors de leur utilisation scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec...), plusieurs nombres ont aussi acquis une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un...) symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.

Conception

Principe

Le concept de nombre trouve son origine dans l’idée d’appariement, c’est-à-dire de la mise en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) d’ensembles (par exemple des êtres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de répartir tous les éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...), il se peut qu’il reste des éléments d’un ensemble en trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’expérience montre alors que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d’où la notion de quantité, caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Cette quantité n’est pas encore un nombre mais est parfois désignée comme un « nombre-de ». Le nombre en tant que tel ne possède pas d’unité de mesure. Il est d’après Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement vécu...) « un assemblage composé d’unités », où « l’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. »

Parallèlement à la notion de quantité, lié à l’aspect « cardinal », le notion de repérage dans une liste mène à la définition du nombre « ordinal » : le premier nombre est suivi d’un deuxième, lui-même suivi d’un autre et ainsi de suite « jusqu’à l’infini ».

Extension progressive

Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) notamment) va permettre aux mathématiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands à l’aide de divers systèmes de numération. La civilisation babylonienne découvre notamment la notation positionnelle (La notation positionnelle est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé base du...) dès le IIIe millénaire avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.

Les fractions sont conçues en Égypte antique sous formes de « quantièmes », c’est-à-dire d’inverses d’entiers. Leur manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l’interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que pi, le nombre d’or ou la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) du carré ne seront vraiment considérées comme des nombres par les mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.

Même si le chiffre « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiques, le nombre zéro n’apparait en tant que tel qu’au VIIe siècle dans les mathématiques indiennes. Il est repris par la civilisation de l’Islam et importé en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme...) au Xe siècle. Sous le qualificatif d’« absurdes », les nombres négatifs sont déjà étudiés au XVIe siècle mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du XIXe siècle.

Les nombres algébriques (réels positifs) sont étudiés avec le développement de l’algèbre par les mathématiciens arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le XIIe siècle. Cette même algèbre conduira certains mathématiciens italiens à inventer au XVIe siècle des nombres « imaginaires », première approche des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu’au XVIIIe siècle. Leur construction géométrique sera d’ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d’autres nombres hypercomplexes pendant le siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le XIXe siècle pour que soit reconnue l’existence de nombres transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel indépendamment de la géométrie. La procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du XXe siècle pour construire les nombres p-adiques.

Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du XIXe siècle, lorsque Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il...) définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde...) moitié du XXe siècle, l’analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz ou Euler en firent grand usage. Cependant, ils...) fait usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de nombres hyperréels puis superréels, tandis que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.

Pédagogie

Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l’enfant en bas âge.

Dans l’éducation, l’apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de valeurs culturelles, par l'observation, l'imitation, l'essai, la...) du nombre débute avec l’acquisition (En général l'acquisition est l'action qui consiste à obtenir une information ou à acquérir un bien.) de la « chaine numérique », notamment à l’aide de comptines : « un, deux, trois… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l’enfant d’énumérer des objets qu’il manipule afin de les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l’énumération), mais aussi pour repérer une position dans une série ordonnée.

Au cours de la scolarité, l’enfant est amené à considérer divers types de nombres rangés dans une suite croissante d’ensembles :

  • l’ensemble N des entiers naturels, qui peuvent s’écrire à l’aide des dix chiffres arabes ;
  • l’ensemble Z des entiers relatifs, qui sont munis d’un signe positif ( + ) ou négatif ( ) ;
  • l’ensemble D des nombres décimaux, qui admettent une partie entière et une partie décimale de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) finie, en général notées de part et d'autre d'une virgule ;
  • l’ensemble Q des nombres rationnels, qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un dénominateur entiers (ou décimaux) ;
  • l’ensemble R des nombres réels, qui repèrent tous les points d’un axe orienté continu ;
  • l’ensemble C des nombres complexes, qui peuvent décrire tous les points d’un plan.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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