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Périmètre

Introduction

Le périmètre du carré vaut ici 8.
Selon Homère, le périmètre de Troie était de 10 200 pas. (Photo des remparts supposés de Troie.)

Le périmètre d'une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes, galbées et même...) est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) de grillage nécessaire à la clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant tout ou partie du pourtour d'un terrain afin de matérialiser ses limites ou d'empêcher des personnes ou des animaux d'y entrer ou d'en...) d'un terrain, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de briques ou de pierres pour la construction d'un mur (Un mur est une structure solide qui sépare ou délimite deux espaces.), etc.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polygone, le périmètre vaut la somme des longueurs des côtés du polygone. Il existe des formules simples pour le calcul du périmètre des figures de base, mais le problème devient beaucoup plus ardu pour des figures plus complexes : il fait appel à des calculs d'intégrales ou de limites. Dans ce cas, une méthode consiste à approcher la figure complexe par d'autres, plus simples et mieux connues, pour obtenir une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour...) du périmètre voulu.

La question de savoir, pour un périmètre donné, quelle est la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) dont l'aire est maximale (ou isopérimétrie) a été posée très tôt et sa réponse seulement démontrée au XIXe siècle.

Le périmètre désigne aussi parfois la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) qui est le bord d'une surface, plutôt que sa mesure. Le mot périmètre (du grec ancien : περίμετρος) est composé du préfixe péri- qui signifie « autour » et du suffixe -mètre : « mesure ».

Figures de base

Polygone

Un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus...) a et de longueur b.

Le cas des polygones est fondamental, non seulement par sa simplicité, mais aussi parce que de nombreux périmètres sont calculés, en valeur approchée, par une suite de polygones tendant vers ces courbes. Le premier mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) connu pour avoir utilisé ce raisonnement fut Archimède qui approcha le périmètre d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...) en l'encadrant par celui de polygones réguliers.

Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

En particulier, un rectangle de dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) a et b a pour périmètre 2(a + b). Un polygone équilatéral est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur (un losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même...) est un polygone équilatéral à quatre côtés). Pour calculer le périmètre d'un polygone équilatéral, il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de côtés.

Un polygone régulier est souvent défini par son nombre de côtés et son rayon, c'est-à-dire la distance constante qui sépare son centre de chacun des sommets. Il est possible de calculer la longueur du côté par un raisonnement de trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui...). Si R est le rayon d'un polygone régulier et n le nombre de ses côtés, son périmètre est :

2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right).

Ces méthodes sont résumées dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ci-dessous.

Périmètre de polygones
Polygone Formule Variables
Triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) a+b+c\; a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.
Parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) 2(a+b)\; a et b sont les longueurs de deux côtés consécutifs.
Polygone équilatéral n\cdot a\; n est le nombre de côtés et a la longueur de chaque côté.
Polygone quelconque a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} = \sum_{i=1}^{n}a_{i} ai est la longueur du ie (1er, 2e, 3e ... ne) côté d'un polygone à n côtés.
Polygone régulier convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein,...) 2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right) n est le nombre de côtés et R la distance entre le centre du polygone régulier et chacun des sommets.

Circonférence d'un cercle

Si le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le...) du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. C'est-à-dire qu'il existe une constante π (le p grec de périmètre) telle que, quel que soit un cercle de diamètre D et de périmètre P,

P = π D.

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) du compas ayant favorisé l'utilisation du rayon R du cercle plutôt que de son diamètre, cette formule devient :

P = 2 π R.

Ces deux formules sont parfaitement équivalentes puisque, pour tout cercle, D = 2 R.

Il suffit, pour calculer le périmètre d'un cercle, de connaître son rayon ou son diamètre et le nombre π. Le problème est que ce nombre n'est pas rationnel (on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers) ni même algébrique (il n'est pas la racine d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) à coefficients entiers). Obtenir une valeur approchée de π aussi précise qu'on le souhaite n'est donc pas évident. La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) des décimales de π mobilise des connaissances en analyse, algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus...) et informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles que les...).

Le périmètre d'un cercle est souvent appelé circonférence, parfois longueur, le mot périmètre concernant plutôt le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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