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Polygone

Introduction

En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.

Il peut être convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un...) ou non, voire croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont d'intersection non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

Lorsqu'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion...) n'est pas croisé, la somme de ses angles ne dépend que de son nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de sommets.

Le bord d'un polygone est un cas particulier de ligne brisée.

La notion de polygone est généralisée en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) supérieure par celles de polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec classique...) et de polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme...).

Des polygones

Vocabulaire de base

Un polygone est constitué :

  • d'une suite finie de points du plan appelés sommets ;
  • des segments reliant les couples de sommets consécutifs ainsi que d'un segment reliant le premier et le dernier point (Graphie), tous ces segments étant appelés côtés ;
  • d'une partie ouverte et bornée du plan, appelée intérieur et dont la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et...) est contenue dans la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres...) des côtés.
Représentation d'un polygone ABCDEF.

Un polygone est en général désigné par la juxtaposition des lettres désignant les sommets, dans l'ordre de la suite.

L'ordre d'un polygone est le nombre de ses sommets.

La désignation d'un polygone en toute généralité s'écrit donc A1A2A3...An, constitué de n sommets et de n segments [A1A2], [A2A3][An − 1An] et [AnA1].

On dénomme alors polygone la figure notée « A1A2A3...An », et constituée par la suite des n segments : [A1A2], [A2A3], ... [An-1An] et [AnA1].

À chaque sommet est associé un angle, c'est l'angle entre les deux côtés qui aboutissent au sommet.

Ordre d'un polygone

Le nombre n des côtés d'un polygone est communément appelé ordre de ce polygone. C'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou celui de ses angles. Par exemple, un polygone d'ordre cinq détient cinq sommets, cinq angles et cinq côtés.

Eléments opposés

  • Si l'ordre d'un polygone est pair :
  • les sommets séparés par n/2 côtés sont dits « opposés » entre eux ;
  • même chose pour les angles correspondants ;
  • les côtés séparés par n/2 sommets sont dits eux aussi « opposés » entre eux.
  • Si l'ordre du polygone est impair, les côtés sont « opposés » aux sommets et aux angles ( et vice versa ) ; plus précisément, chaque sommet ( ou chaque angle ) est « opposé » au côté situé (n - 1)/2 sommets plus loin.

Côtés prolongés et diagonales

Les droites qui portent les côtés d'un polygone sont appelées les côtés prolongés de ce polygone.

Les côtés d'un polygone ne sont pas les seuls segments qui peuvent relier les sommets entre eux. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) segment reliant deux sommets d'un polygone et autre qu'un côté est appelé diagonale de ce polygone.

Un polygone à n côtés possède ainsi \frac{n(n-3)}{2}\, diagonales.

Autres définitions et propriétés

Médiatrices d'un polygone

Ce sont les médiatrices ( la droite qui coupe perpendiculairement et en son milieu un segment ) de ses côtés.

Bissectrices d'un polygone

Ce sont les bissectrices de ses angles.

Médianes et diagonales principales d'un polygone

  • Si l'ordre n du polygone est pair :
  • on appelle diagonale principale de ce polygone tout segment reliant deux sommets opposés. Ces diagonales principales sont au nombre de \frac{n}{2}\,. Si le polygone est régulier, ses diagonales principales sont aussi appelées diamètres, car elles sont alors aussi des diamètres du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) circonscrit au polygone.
  • on appelle médiane de ce polygone tout segment reliant les milieux de deux côtés opposés. Ces médianes sont aussi au nombre de \frac{n}{2}\,.
  • Si l'ordre du polygone est impair, il n'y a pas de diagonales principales, seulement des médianes. Chaque médiane relie alors un sommet au milieu du côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits...). Elles sont alors au nombre de  n \,.

Apothèmes et rayons d'un polygone à centre

Apothéme d'un hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés sont de même...).

Les apothèmes d'un polygone à centre relient les milieux de ses côtés à son centre.

Si le polygone est régulier, ce sont aussi :

  • les demi-médianes du polygone, s'il est d'ordre pair ;
  • les lignes de construction définissant les médiatrices de ses côtés ;
  • des rayons du cercle inscrit dans le polygone.

Les rayons d'un polygone à centre relient ses sommets à son centre.

Si le polygone est régulier, ce sont aussi :

  • les demi-diamètres du polygone, s'il est d'ordre pair ;
  • des rayons du cercle circonscrit au polygone.

Notion d'angle au centre

Soit A1A2A3...An un polygone à n côtés muni d'un centre O.

On appelle angle au centre du polygone l'angle \widehat{A_i O A_i}_{+1} \, formé par deux rayons consécutifs de ce polygone.

Si le polygone considéré est régulier, les n angles au centre ont tous la même mesure, 2π / n radians, et c'est aussi la mesure de l'angle entre deux apothèmes consécutifs.

Somme des angles (ou Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Santarelli)

La somme des angles d'un polygone ne porte pas de nom particulier, mais vaut (seulement dans le cas d'un polygone convexe ) :

S = (n - 2) \times180^\circ, S = n \times180-360^\circ ou S = (n - 2)\times\pi radians, où n est l'ordre du polygone.

À noter que lorsque l'ordre d'un polygone augmente d'une unité, la somme de ses angles augmente de 180° ou π radians : c'est le supplément d'angle.

Périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) d'un polygone (Théorème de Viète)

Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. La formule en est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par François Viète au XVIe siècle

Si le polygone est régulier, son périmètre P vaut :

 P = 2 n R \sin( \alpha / 2 ) \,

où :

  • n est l'ordre du polygone ;
  • \alpha \, est son angle au centre ;
  • et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit.

Comme \alpha \, vaut 2π / n radians, et que sin xx quand x est voisin de 0, le périmètre tend vers 2 π R quand n tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...). On retrouve bien le périmètre du cercle.

Aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) d'un polygone (Lemme de Boursier)

L'aire d'un polygone non croisé est l'aire de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et...) enclose par le polygone.

Si le polygone est régulier, son aire A vaut :

 A = n R^2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \,

où :

  • n est l'ordre du polygone ;
  • \alpha \, est son angle au centre ;
  • et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit.

Comme l'angle au centre vaut 2 π / n radians, et que sin xx et cos x ≈ 1 quand x est voisin de 0, l'aire tend vers π R2 quand n tend vers l'infini. On retrouve bien l'aire du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet —...).

Il existe une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) formule possible pour calculer l'aire d'un polygone régulier : A = \frac{a \times P}{2}

a est l'apothème (Un apothème est un terme désignant la ligne de construction définissant la médiatrice du côté d'un polygone régulier. C'est la distance du sommet d'un cône de révolution à...) du polygone et P son périmètre.

Lorsque le polygone est irrégulier, il est facile de le partitionner en triangles à partir des diagonales. Pour calculer son aire, il suffit alors de faire la somme des aires des triangles obtenus.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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