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Spirale

Introduction

La spirale est une forme fréquente dans le monde animal et végétal, chez les gastéropodes par exemple

En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point (Graphie) central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) qu'elle tourne autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au...).

Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :). Lorsqu'une spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) se développe en trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...), on parle plutôt d'hélice.

Étymologie

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La spirale est un des motifs qui semblent avoir fasciné l'homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction, l'homme prépubère...) depuis la préhistoire, des gravures celtes aux tatouages polynésiens
Escaliers formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement. Chaque voyelle...) une spirale

En latin spira ou en grec speira, ce mot désigne un enroulement (Un enroulement en électrotechnique est un conducteur électrique isolé bobiné (enroulé autour d'un support). Cet...).

Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.

Spirales à centres multiples

L'éloignement progressif d'une spirale dépend du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) des centres qui ont servi à la former. Il y a des spirales :

  • à 2 centres qui sont situés sur une même ligne,
  • à 3 centres qui sont situés aux trois sommets d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) équilatéral,
  • à 4 centres qui sont situés aux quatre sommets des angles d'un carré.

Spirales à deux dimensions

Une spirale à deux dimensions se décrit facilement à l'aide de coordonnées polaires : le rayon r est donné par une fonction continue et monotone de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) θ. Le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) en est alors un cas dégénéré.

Il existe plusieurs types de spirales à deux dimensions. Voici les plus importantes :

  • La spirale d'Archimède : r=a+b\cdot \theta ~
  • La spirale hyperbolique : r=\frac{a}{\theta} ~
  • La spirale logarithmique : r=a\cdot b^\theta ~
  • La spirale de Fermat : r=\sqrt{\theta}
  • La spirale de Nielsen
  • La spirale de Cotes
  • La spirale de Galilée
  • La spirale de Fibonacci : cas particulier de la spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :) construite avec une suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de...)

Une spirale a nécessairement une infinité de spires distinctes; le rayon polaire peut croître indéfiniment avec l'angle, ou tendre vers une limite finie; dans ce dernier cas, la spirale est asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord...) à un cercle et même parfois à une droite (spirale hyperbolique).

Exemples

Spirale triple, constituant la figure du triskel des celtes.
Mouvement contraint de 2 spirales d'Archimède l'une dans l'autre, qui évoque schématiquement le principe de certaines pompes. Le point de contact entre les 2 spirales se déplace lui-même en suivant le dessin de la spirale rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.).

En botanique (La botanique est la science consacrée à l'étude des végétaux (du grec βοτάνιϰή; féminin du mot...), la spirale est présente dans la disposition des graine (Dans le cycle de vie des « plantes à graines », la graine est la structure qui contient et protège l'embryon végétal. Elle est souvent contenue dans un fruit qui permet sa...) du tournesol, ou dans le point d'insertion des feuilles sur la tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie généralement en branches et rameaux formant...) (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).

Culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :)

  • la spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc)
  • Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.), qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose (Le terme hypnose désigne un état modifié de conscience ainsi que les techniques permettant de créer cet état et les pratiques thérapeutiques utilisées pendant cet état.). C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
  • En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent - selon le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le...) - la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.

Construction

Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par exemple pour la décoration de jardins : Il suffit d'enrouler un cordeau (Le cordeau est un outil de jardin ou du bâtiment.) attaché à un piquet planté au centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu, une pointe maintenue verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont évidemment d'autant plus écartées, que le piquet central est plus gros. On obtient une (approximation de) développante du cercle

Construction d'une fausse spirale (ou spirale approximative) sur une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et est considéré comme...)

Avec un compas et une règle :

  1. Tracer une droite qui partage la feuille en deux parties égales.
  2. Placer deux points A1 et A2 sur la droite aux environs du centre de la feuille. La distance entre le point A1 et le point A2 paramètre la concentration de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...). Plus cette distance est courte, plus la spirale sera concentrée.
  3. Piquer (Le verbe « piquer » a de nombreuses acceptions :) le compas sur le point A1. L'écarter de la distance A1A2.
  4. Tracer le demi-cercle d'origine A2. Noter A3 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
  5. Piquer le compas sur le point A2. L'écarter de la distance A2A3.
  6. Tracer le demi-cercle d'origine A3. Noter A4 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
  7. Piquer le compas sur le point A3. L'écarter de la distance A3A4.
  8. Tracer le demi-cercle d'origine A4. Noter A5 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
  9. etc.

Le résultat est une spirale construite à partir de demi-cercles dont le rayon augmente de la distance A1A2 à chaque fois.

Plusieurs variantes sont possibles et combinables :

  • le rayon de chaque demi-cercle n'est pas augmenté d'une valeur constante, mais double ;
  • tracer des quarts de cercles au lieu de demi-cercles (nécessite deux droites perpendiculaires). Ou des tiers de cercles, avec un triangle équilatéral qui détermine trois demi-droites.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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