Transversalité - Définition
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Introduction
En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.
Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont dits transverses quand F + G = E. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :
.Deux sous-espaces affines Y, Z d'un espace affine X sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si
.Deux sous-variétés M et N d'une variété différentielle P sont dits transverses lorsque, pour tout point x de 
, les espaces tangents 
et 
sont transverses dans l'espace tangent 
, c'est-à-dire si
Dans la suite, m,n,p désignent les dimensions respectives de M,N,P.
Remarques :
- La définition reste valable pour les variétés banachiques.
- Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
- Si m + n < p, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés M et N sont disjointes.
Théorème — Une intersection transverse et non vide est une sous-variété différentielle de dimension m + n − p.
On a donc dans ce cas les relations
Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).
Généricité
Théorème — Si M et N sont deux sous-variétés de classe Ck (
) de dimensions respectives m et n, alors il existe un Ck-difféomorphisme h de P, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie Ck, tel que h(M) intersecte transversalement N.
En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.