Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les droites indiquées ci-dessous, mais aussi les segments de ces droites intérieurs au triangle.
On appelle médiane d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires égales.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection G est nommé centre de gravité du triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur ce point G .
Le centre de gravité du triangle est aussi l'isobarycentre de ses sommets A, B et C, défini par la relation vectorielle :
Si I désigne le milieu du côté [BC] on a la relation vectorielle :
En effet, si I est l'isobarycentre de B et de C pondérés par des masses unité, alors par associativité G est le barycentre de I pondéré d'une masse 2 et de A pondéré d'une masse 1.
Cette relation s'applique également aux deux autres sommets du triangle vis-à-vis du milieu de leur côté opposé.
Si I , J et K désignent respectivement les milieux des côtés [BC] , [AC] et [AB], alors le triangle IJK est appelé triangle médian du triangle ABC .
On appelle médiatrice d'un triangle chacune des médiatrices de ses côtés [AB], [AC] et [BC].
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point Ω équidistant des trois sommets. Le cercle de centre Ω et de rayon ΩA passe par chacun des trois sommets du triangle : c'est le cercle circonscrit au triangle. Tout triangle est donc un polygone inscriptible.
Remarques :
Propriété :
Les bissectrices d'un triangle sont les trois bissectrices intérieures de ses angles.
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point O. Le cercle inscrit au triangle est l'unique cercle tangent aux trois côtés du triangle et tout entier inclus dans le triangle. Il a pour centre le point O qui est donc le centre du cercle inscrit au triangle.
On appelle hauteur d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle « pied » de la hauteur. Ces 3 hauteurs se coupent en un point unique H appelé orthocentre du triangle.
Remarques :
Les trois points H, G et Ω sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle et vérifient la relation d'Euler :
Par ailleurs les milieux des trois côtés, les trois pieds des hauteurs et les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont sur un même cercle dénommé cercle d'Euler ou cercle des neufs points du triangle.