En géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...), un triangle est une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...), formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de trois angles dans cette figure, ceux formés par les segments entre eux. Les trois points sont les sommets du triangle, les trois segments ses côtés, et les trois angles ses angles.
Le triangle est une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations...) élémentaire, à l'instar du point (Graphie), de la droite ou du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...). Il constitue depuis l'Antiquité une réserve inépuisable de propriétés, d'exercices et de théorèmes mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) de difficultés variées. La plupart des propriétés et définitions énoncées dans cet article étaient déjà énoncées, environ 300 ans avant Jésus-Christ, dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...).
Pour l'étude du triangle dans d'autres géométries, voir Triangle (géométries non euclidiennes).
Les points intéressants d'une figure géométrique, tels que les sommets d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...), sont habituellement désignés par des lettres latines majuscules : ''A, B, C, ... Un triangle est alors nommé, comme tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) autre polygone, en donnant successivement le nom de ses sommets, par exemple ABC. L'ordre de citation des sommets n'a pas d'importance, car tous les segments dont ces sommets sont les extrémités sont des côtés du triangle.
Les côtés du triangle, justement, sont dénommés, comme tous les segments, par leurs extrémités : AB, BC, et AC dans notre exemple. Pour nommer la longueur d'un côté, on utilise en général le nom du sommet opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...), converti en minuscule latine : a pour BC, b pour AC, c pour AB.
La notation générale pour l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) entre deux segments OP et OQ partageant l'extrémité O est
On peut aussi utiliser une lettre minuscule, grecque le plus souvent, surmontée d'un accent circonflexe (en toute rigueur, les grandeurs devraient être désignées par des majuscules et leur mesure par des minuscules, mais on recourt souvent aux mêmes noms pour les deux afin d'alléger les notations). Dans le cas d'un triangle, l'angle entre deux côtés peut encore, par tolérance et en l'absence d'ambiguïté, être désigné par le nom du sommet commun surmonté d'un accent circonflexe. Bref, dans notre exemple, nous pouvons noter les angles :
Si on tolère de confondre un angle et sa mesure dans les énoncés ou les calculs, la notation correcte est par exemple :
Nous utiliserons ces notations dans cet article.
Lorsque les trois sommets d'un triangle sont alignés, on parle de triangle aplati. Il est équivalent de dire qu'un angle du triangle est plat (il mesure alors 180°) ou que deux angles du triangle sont nuls (ils mesurent 0°).
Les triangles admettant deux angles droits (de 90°) et un angle nul (de 0°) sont qualifiés de triangles en aiguille (cas particulier de triangle aplati). C'est un cas limite, car les angles droits ne sont pas correctement définis.
Dans tous ces cas, on parle de triangles dégénérés. Dans la suite de cet article, on suppose que les triangles ne sont pas dégénérés. Dans le cas des triangles dégénérés, de nombreuses propriétés usuelles des triangles sont fausses ou triviales.
Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, un triangle ne peut pas comporter deux angles droits (mesurant 90°) ou obtus (mesurant plus de 90°). Il a donc au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est :
Les triangles peuvent se classer suivant plusieurs types de symétries :
En fait, tous ces classements sont équivalents.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
Dans ce cas le triangle est dit isocèle. (On peut aussi dire isoangle). Isocèle du grec iso = même et scèle = jambe
Lorsqu'un triangle ABC est tel que AC = AB (les deux côtés d'extrémité A sont égaux), alors on dit que le triangle est isocèle de sommet A et que A est le sommet principal du triangle. Le côté [BC], opposé à A, est appelé base du triangle.
Lorsqu'un triangle est isocèle en A, la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) issue de A est aussi la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points...) et la médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en...) du côté [BC] et la bissectrice (En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un...) de l'angle en A.
Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui, lorsqu'il est « coupé » en deux par la bissectrice d'un de ses angles, forme deux triangles isocèles eux aussi. Il n'y a que deux cas de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.
Un triangle isocèle peut aussi se trouver dans la figure formée par un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...) et ses diagonales : dans un rectangle, dans un losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un...) ou dans un parallélogramme où la longueur d'un des côtés est la même que celle de la moitié d'une des diagonales.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
Dans ce cas le triangle est dit équilatéral, ou équiangle, ou isopleure.
Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°.
Pour déterminer un triangle équilatéral, on peut :
Par ailleurs, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Le rapport entre la hauteur et le côté d'un triangle équilatéral est égal à , soit environ 0,866.
Le triangle équilatéral est celui qui présente la plus grande aire pour un périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du...) donné. Ainsi, le triangle de plus grande aire et de périmètre égal à 3 est le triangle équilatéral de côté 1. Cette propriété est analysée dans l'article Isopérimétrie (En géométrie plane, l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de...).
Un triangle scalène (du grec skalenos : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique...) est un triangle dont :
Les trois définitions ci-dessus sont équivalentes. Un tel triangle n'est bien sûr ni isocèle ni équilatéral, mais il peut être rectangle.
Lorsqu'un triangle présente un angle droit (mesurant 90°) on parle de triangle rectangle.
Parmi les nombreuses propriétés du triangle rectangle, citons le fameux Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Pythagore : « Un triangle admet un angle droit si et seulement si le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de la longueur d'un de ses côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »
Le 'triangle 3-4-5 est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés forment une progression . On peut remarquer que 5² = 3² + 4² (soit 25 = 9 + 16) : comme ce triangle vérifie la relation du théorème de Pythagore on peut en déduire qu'il est rectangle.
Ce cas particulier d'un triangle rectangle est connu depuis l'Antiquité. Il est facile à réaliser à l'aide d'une corde à treize nœuds : on l'utilisait pour tracer un angle droit au sol. Pour cette raison, on l'appelle aussi « triangle des arpenteurs ».
Le triangle 30-60-90 est un triangle rectangle dont les angles mesurent 30°, 60° et 90°, c'est-à-dire forment une progression . Les longueurs des côtés forment quant à eux une progression .
Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » : les équerres d'écolier ont parfois cette forme. On parle aussi de « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé (Un coupé est une voiture fermée, à deux portes (parfois trois avec hayon ou quatre comme l'ont...) suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.
Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle. Dans ce cas, il l'est au même sommet. Ses deux angles aigus mesurent 45° (ou π/4 rad).
C'est le triangle obtenu en divisant un carré en deux suivant une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...), d'où le nom du triangle : « demi-carré ».