Triangulation - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres points de référence dont la position est connue, et ceci plutôt que de mesurer directement la distance entre les points. Ce point (Graphie) peut être considéré comme étant le troisième sommet d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) dont on connaît deux angles et la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'un côté.

Mathématiques

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations...), une triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de...) d'un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) X est un complexe simplicial (En mathématiques, un complexe simplicial est un objet géométrique...) K homéomorphe à X, et un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est...) h:KX. La triangulation est utile pour déterminer les propriétés d'un espace topologique.

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), une triangulation est une façon de découper une forme géométrique (un plan, un polygone) en une collection de triangles. Un exemple classique est la triangulation de Delaunay (En mathématiques et plus particulièrement en géométrie algorithmique, la...).

La triangulation est aussi le processus qui permet de déterminer une distance en calculant la longueur de l'un des côtés d'un triangle, et en mesurant deux angles de ce triangle. Cette méthode utilise des identités trigonométriques.

Triangulation.png

Six-cent ans avant l'ère chrétienne, Thalès mit au point une méthode pour évaluer la distance d'un bateau (Un bateau est une construction humaine capable de flotter sur l'eau et de s'y déplacer,...) en mer (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.) à la côte. Pour avoir une mesure approximative de cette distance, il plaça deux observateurs A et C sur le rivage éloignés d'une distance b connue. Il demanda à chacun d'entre eux de mesurer l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) que font les droites passant par le bateau B et l'un d'entre eux, et la droite passant par les deux observateurs :

La méthode a un intérêt si nous voulons déterminer de grandes distances ; mais dans ce cas nous devons placer les deux observateurs suffisamment éloignés l'un de l'autre, pour que les mesures d'angle soient plus précises.

Les propriétés souvent utilisées pour la triangulation sont :

  • La somme des angles d'un triangle est égale à π radians (180 degrés).
  • La loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des...)
  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) d'Al-Kashi
  • Le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...)

Applications

Triangulation par relevé des directions

La triangulation est utilisée dans divers secteurs, comme la survie, la navigation (La navigation est la science et l'ensemble des techniques qui permettent de :), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...), dans l'armement (fusées).

Un navire (Un navire est un bateau destiné à la navigation maritime, c'est-à-dire prévu...) peut ainsi connaître sa position en relevant la direction d'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) (angle par rapport au Nord) de deux points distants (par exemple un clocher (Un clocher est un élément architectural d'une église, généralement en...) d'église (L'église peut être :), un phare) ; il lui suffit alors, sur une carte, de tracer les droites passant par les points observés et ayant la direction relevée, l'intersection de ces droites étant la position du navire. Pour lever les imprécisions de mesure, on utilise généralement 3 points de repères, appelés amers. C'est la Navigation par relèvements.

Dans le cas d'ondes électromagnétiques (par exemple des ondes radio), la position peut se déterminer avec une antenne (En radioélectricité, une antenne est un dispositif permettant de rayonner (émetteur) ou de...) directionnelle (c'est-à-dire une antenne ne captant que les ondes venant d'une direction donnée) ; l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) pour laquelle le signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe...) est le plus fort donne la direction de l'émetteur, il suffit alors de faire plusieurs relevés pour avoir la position de l'émetteur (radiogoniométrie). Cette méthode était par exemple utilisée durant l'occupation allemande de la France pour détecter les émetteurs radio pirates.

Position statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut...)

On vise deux points, et on relève les directions de visée. Il suffit ensuite de tracer, sur une carte, une droite passant par le point visé et ayant la direction relevée. L'intersection des droites donne la position.

On a deux sommets du triangle (les amers) et la direction des deux côtés ne joignant pas ces sommets (relèvements), ce qui permet de déterminer complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) le triangle.

Si l'on effectue trois relevés, on devrait obtenir un point de concurrence unique des trois droites. Dans la pratique, les imprécisions — sur la visée, sur la lecture de l'angle, sur le tracé de la droite — font que l'on obtiendra un triangle, la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) du triangle donnant une estimation de la précision de la mesure. On peut raisonnablement (si les angles sont à 120° l'un de l'autre) prendre pour position le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble...) de ce triangle, et pour erreur la distance entre ce centre et le point le plus éloigné.

Véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un...) en mouvement

Dans le cas d'un véhicule en mouvement, il faut prendre en compte le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) du véhicule. Il faut pour cela connaître la direction et la vitesse (On distingue :) du véhicule. La direction du mouvement est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par le compas ; dans le cas d'un voilier (Un voilier (ou bateau à voiles, navire à voiles) est un bateau ou navire propulsé par la force...), la vitesse peut être estimée à partir de la vitesse du vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface...) et du courant.

Si la vitesse est lente (La Lente est une rivière de la Toscane.) et que les relevés sont faits de manière proche (cas de la navigation maritime), on peut négliger ce phénomène, par contre, il faut noter l'heure (L'heure est une unité de mesure  :) du relevé.

Navigation par relèvement (Le relèvement est la détermination de l'angle que fait, dans le plan horizontal, la ligne...) à un amer

La connaissance de ce mouvement permet de faire un relevé avec seulement un amer, par exemple dans le cas d'une navigation par temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) de brouillard (Le brouillard est le phénomène météorologique constitué d’un amas...) où seul un lieu caractéristique serait visible par intermittence. On relève alors les directions et les heures du relevé.

On a ainsi un sommet du triangle (l'amer), les directions de deux côtés (les deux relevés), et la direction et la longueur du troisième côté (trajectoire du bateau), ce qui permet de déterminer complètement le triangle.

Voir l'article Navigation par relèvements > Positionnement avec un seul amer

Triangulation par relevé des distances

On peut relever une position en estimant la distance par rapport à trois points. Si l'on prend deux points de référence, on a deux sommets et les longueurs des côtés ne joignant pas ces sommets, ce qui définit deux triangles ; le point du relevé se trouve au troisième sommet de l'un de ces triangles. L'adjonction d'un troisième point de référence permet de déterminer lequel des deux sommets est le bon.

Utilisation de l'intensité d'un signal

Avec une onde électromagnétique (L'onde électromagnétique est un modèle utilisé pour représenter les...), on peut utiliser l'intensité du signal collectée par une antenne non directionnelle. Si le milieu de propagation est homogène et isotrope, l'intensité est inversement proportionnelle au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de la distance (l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) se répartit sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) grandissante) et donc diminue avec l'augmentation de la distance source-récepteur. L'intensité permet donc d'estimer la distance, et donc de situer l'émetteur sur un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) centré sur le récepteur. Un deuxième récepteur permet de tracer un second cercle, l'émetteur se trouve donc à l'intersection des deux cercles ; un troisième récepteur permet de déterminer lequel des deux points d'intersection est le bon (ou bien la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...), un navire ne peut pas se trouver sur les terres). Cette méthode est aussi utilisée en sismologie pour connaître la position de l'épicentre d'un séisme ; on considère alors l'intersection de sphères (on n'a plus la contrainte d'un émetteur situé en surface), et il faut corriger les calculs de l'hétérogénéité du milieu (variation de l'indice de réfraction (L'indice de réfraction d'un milieu à une longueur d'onde donnée mesure le facteur de...) en fonction de la profondeur, réflexion et réfraction (La réfraction, en physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie...) sur le manteau...).

Si l'on ne connaît pas l'intensité de l'émetteur ni le rendement des récepteurs, il faut se trouver les positions pour lesquelles le signal est reçu avec la même intensité ; l'émetteur se trouve alors sur la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points...) du segment constitué par les deux récepteurs. On peut localiser la source avec un deuxième relevé, à l'intersection des deux médiatrices. La méthode des médiatrices, légèrement modifiée, est utilisée en sauvetage-déblaiement pour localiser des victimes ensevelies avec un géostéréophone.

Utilisation de la vitesse de propagation d'un signal

Si l'on a des événements émettant un signal, alors en constatant le décalage dans l'arrivée des signaux, on peut déterminer la différence de distance entre les événements et les récepteurs, à condition de connaître la vitesse de propagation du signal.

Si le récepteur est lui-même synchronisé avec les émetteurs, on peut alors déterminer directement le temps de trajet et donc la distance entre émetteurs et récepteur.

Surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) des lieux possible de l'hypocentre déterminé avec deux stations sismographiques distantes

Par exemple, pour localiser un séisme, on a un événement unique générant le signal, le séisme, et plusieurs stations réceptrices synchronisées, les sismographes. L'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) sismique arrive à des moments différents aux sismographes. Le foyer du séisme (hypocentre) est à une distance di du sismographe i.

Le foyer et deux sismographes forment un triangle ; on connaît deux sommets S1 et S2 du triangle (les sismographes), de coordonnées (x1,y1,z1) et (x2,y2,z2), et la différence de longueur D entre les deux côtés ne joignant pas ces sommets. Le troisième sommet du triangle est donc sur une surface vérifiant

d(M,S1) − d(M,S2) = D

soit

\sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2} - \sqrt{(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2} = D
Positions possibles de l'hypocentre d'un séisme en fonction du délais d'arrivée des ondes à deux stations sismographiques distantes

qui est l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) d'un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait...). Il faut suffisamment de sismographes pour définir trois surface, le point de concurrence de ces surfaces donnant le foyer du séisme.

On a plusieurs types d'ondes sismiques voyageant à des vitesses différentes, ce qui permet de faire plusieurs déterminations. Toutefois, le problème est rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie)...) complexe car :

  • les ondes ne voyagent pas en ligne droite : la vitesse de propagation dépend de la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) donc de la profondeur sous le sol, on a un phénomène de réfraction avec variation continue d'indice ;
  • il y a des discontinuités, les ondes subissent donc des réflexions ;
  • les ondes de cisaillement (type S) ne voyagent pas dans le liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est...), donc ne peuvent pas passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) par le noyau terrestre.

Voir l'article Mesure en sismologie.

On peut également localiser d'autres événements comme par exemple une forte explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un...) (essai nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :), catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la...) industrielle de grande ampleur comme la catastrophe de l'usine AZF...).

Pour la navigation par satellite (Satellite peut faire référence à :) (système type GPS), on a plusieurs émetteurs synchronisés et un récepteur unique à l'endroit à localiser.

Page générée en 0.008 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise