En physique, le volume d'un objet mesure " l'extension dans l'espace " qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure " l'extension " qu'elle possède dans les deux directions en même temps.
Le volume se mesure en mètre cube dans le système international. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides.
Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression.
En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace est sa mesure. Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques. En géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs : . Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculé grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.
L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglosaxons (voir Conversion des unités)).
Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'ancien régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).
Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécule) contenue dans un volume donné quelle que soit la pression et la température, deux définitions de correction existent :
Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.
Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un "e" minuscule.
En mathématique, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.
Dans la suite on notera
Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre est , on a
La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur
La formule générale est toujours :
Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface S plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité G de l'élément de surface S.
Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :
Si est une partie bornée de , le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de , délimité par le plan z = 0 et la surface d'équation z = f(x,y) – avec f positive et continue sur – est :
Dans le cas où le domaine est défini par des conditions simples x1 < x < x2, y1(x) < y(x) < y2(x), ce calcul se ramène à :
Si est une partie bornée de et si la fonction constante 1 est intégrable sur , le volume de est alors
Dans le cas où le domaine est défini par des conditions simples x1(z,y) < x(z,y) < x2(z,y), y1(z) < y(z) < y2(z) et z1 < z < z2, ce calcul se ramène à :
Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.
Si le domaine s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples , le calcul peut s'exprimer par
Si le domaine s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples , le calcul peut s'exprimer par
Dans le cas où le domaine est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation y = f(x) autour de l'axe (Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale simple
Enfin, le théorème de Green-Ostrogradsky permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface
où est la frontière de , et le vecteur unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de .