Aleph-zéro - Définition
Aleph-zero, parfois noté aleph0 ou 
(?, aleph, étant la première lettre de l'alphabet hébreu), est le cardinal des ensembles infinis dénombrables, comme l'ensemble des entiers naturels 
.
Propriétés
Si l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix est utilisé, il est possible de prouver que la classe des nombres cardinaux est totalement ordonnée : est dans ce cas le plus petit nombre cardinal infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...).
Le cardinal d'un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un...) continu, comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres réels 
, est égal à 
. Si on accepte l'hypothèse du continu, est égal à 
(aleph-un).
Ensembles infinis dénombrables
Un ensemble infini est dit dénombrable, donc de cardinal , s'il existe une bijection entre lui-même et l'ensemble des entiers naturels.
Les ensembles suivants, entre autres, sont de cardinal :
- L'ensemble des entiers naturels
- L'ensemble des entiers relatifs
- L'ensemble des nombres rationnels
- L'ensemble des entiers pairs
- L'ensemble des nombres premiers