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Chute libre (cinématique)

La formule z = \frac{1}{2}.g.t^2 de Galilée (1564-1642) n'a pas été découverte en un jour. Historiquement, on la trouve chez Dominique Soto, mais c'est pure spéculation. Benedetti prépare Galilée et le "de Motu" de Buonamico est étudié à Pise par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du...), qui écrit dès 1590. La loi est énoncée dès 1604 (lettre à Fra Paolo Sarpi), mais via une double erreur; puis la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou...) est corrigée dans le Dialogo( 1630 ). Cavalieri(1632) et Mersenne (1633) en tirent la chute parabolique avec vitesse (On distingue :) initiale horizontale. Torricelli trouvera enfin la parabole de sûreté (Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.).

Rappel de la démonstration

On considère un corps de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps...) m soumis au champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on...) \vec{g} terrestre.

  • On écrit le Principe Fondamental de la Dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de Newton :

m\vec{a}=m\vec{g}\vec{a} est l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur...) du corps. Donc

\vec{a} = \vec{g} (m se simplifie : constaté et affirmé par Galilée).

  • On intègre une fois, par rapport au temps : v = g.t + cstev est la vitesse verticale : si la vitesse initiale est nulle : v = g.t.

Cette loi est énoncée par Galilée, au grand dam de ceux qui pensent que si la vitesse initiale est nulle, le mobile ne peut avancer !

  • On intègre encore une fois par rapport au temps : z(t) = \frac{1}{2}g t^2 + z(0).

On obtient ainsi le mouvement d'un corps en chute libre.

Application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre grandeurs lorsque l'on connaît une formule analytique...) avec rappel des unités

On peut remarquer que :

  • m\vec{g} est une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...), la force de pesanteur ou poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) en newton (N). Donc g est en N/kg , c'est-à-dire en m/s2.
  • Sa valeur à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la...) est 9.81 N/kg à notre latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.). Pour faire simple , nous prendrons : 10 N/kg.
  • En 1 seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. La...), la vitesse est donc déjà 10 m/s, et la distance de chute 5m.
  • En 2 secondes, la vitesse est 20m/s ( 72km/h), et la distance de chute : 20 m.
  • En 5 secondes, la vitesse est 50m/s ( 180 km/h) et la distance de chute : 125m.
  • Suite à une question de Beeckman à Descartes (avant 1629), si le mobile descend de h dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) t1, le temps t2 qu'il mettra pour descendre encore de h est : t_2=(\sqrt{2}-1)t_1
  • Un problème classique du XVIIème siècle : soit le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) égyptien AOB rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) en O; OA =3a vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) et OB = 4a horizontal : une masse M1 glisse sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) sur le parcours AOB (alésé en O) , l'autre masse M2 glisse sans frottement selon AB : laquelle arrive la première? (Réponse: si OA est plus grand, M2 arrive en tête](voir ci-contre (?) et cycloïde)

Et Galilée ?

Du temps de Galilée, on ne connaissait pas les dérivées, ni la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) de Newton. On ne connaissait pas les unités. C'est juste après lui qu'on effleure le problème. De même qu'on ne divise pas un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition...) par un vecteur , il était à l'époque idiot de diviser une distance par un temps. Il s'est en fait contenté de dire que la vitesse augmentait comme 0+1 , 1+2 , 2+3 , 3+4 , etc., càd 1,3,5,7,...dans des temps égaux : ceci veut dire v = g.t dans notre langage.
Affirmer qu'il l'a constaté expérimentalement est "plutôt douteux"(cf plus bas:Expérimentation).
Cependant, c'était un excellent théoricien, il eût pu raisonner ainsi ( mais on n'en a pas trace) :

Soit f(t1) la vitesse atteinte au temps t1 ( ou sa valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer la...) , peu importe). Alors on doit avoir d'après le principe de relativité : f(t1) + f(t2 ? t1) = f(t2).
Prenons t2 = 2t1, c'est-à-fire f(2t1) = 2f(t1). Et plus généralement f(n.t) = nf(t).
Donc la vitesse au temps n.t est n fois plus grande que la vitesse au temps t.

Il raisonnait sans doute avec la vitesse moyenne entre deux temps, car il dit 1+2, 2+3, etc., mais le raisonnement reste exact.
En fait il raisonnait en terme de chemin parcouru : il est clair que d_0 = 0+1,\; d_1 = 1+2,\; d_2 = 2+3 , et bien sûr , via la somme des n premiers impairs : 1+ 3 + 5 +... = n² (raisonnement connu depuis très longtemps), il retrouvait z proportionnel à n².

Pour réaliser une expérience, encore fallait-il qu'il possèdât une montre qui donne la cadence. Dugas (histoire de la mécanique) indique que c'est avec une clepsydre (pour le cas du plan incliné) qu'il pouvait faire cette mesure ; il pesait une masse d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) coulant à débit (Un débit permet de mesurer le flux d'une quantité relative à une unité de temps au travers d'une surface quelconque.) constant; auparavant il utilisait la cadence du chant ( son père était un musicien réputé).

Remarque : Il aurait pu aussi faire cette expérimentation : soit t1 , t2 =t1+t et t3 =t1+2t , trois temps consécutifs , où l'on marque z1, z2, z3. Alors , on peut vérifier 2.z2 - (z1 + z3) = cste indépendante de t1 et valant toujours g.t^2 car 2.(t1+t)^2 - [t1^2 +(t1+2t)^2] = 2 .t^2. On peut montrer que ceci est caractéristique de z ~ t^2.

Cette remarque peut être utilisée en Travaux Pratiques ( cf chute libre, cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du...) ).

Quoi qu'il en soit, la notion de "force" de pesanteur n'est pas claire. Chez Torricelli qui manipule mieux le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la...), certaines expressions sont très modernes.

la Tour de Pise (La tour penchée de Pise (torre pendente di Pisa en italien) est un des symboles du centre de l'Italie.)

Jamais une balle de plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de β-kératine. La plume est un élément caractéristique de la classe des oiseaux. Comme les...) et une balle de plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et de numéro atomique 82. Le mot et le symbole...) ne tombent selon la même loi de chute : à cause de la résistance de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et...) .

Et Galilée le sait bien, puisqu'il en discute dans son "de Motu" , écrit à Pise vers 1591. C'est dans les années passées à Pise qu'il se détache de la Scolastique, mais c'est seulement vers 1604,à Padoue, qu'il possède le fameux z ~ t^2, via une double erreur de raisonnement ( lettre à Paolo Sarpi).

Et il n'y a pas eu de vérification expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique. En science,...) faite depuis la Tour : c'est une légende, un peu comme la pomme (La pomme est le fruit du pommier, arbre fruitier largement cultivé. L'étude de la culture des pommes constitue une partie de la pomologie, la...) de Newton : voir l'article célèbre de Koyré qui ridiculise cette légende ( Koyré, "Annales de l'Université de Paris (L’Université de Paris était l’une des plus importantes et des plus anciennes universités médiévales. Apparue au XIIe siècle,...)", 1937 ; article reproduit in : Koyré, "Études d'histoire de la pensée scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.)", PUF, 1966).

Pour plus de précisions, voir chute avec résistance de l'air.

Expérimentation (L'expérimentation est une méthode scientifique qui consiste à tester par des expériences répétées la validité d'une hypothèse et à obtenir des données quantitatives permettant de l'affiner. Elle est pratiquée par un ou des...) réaliste

On montre assez vite que sur un plan incliné d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) A , seule la composante , selon le plan, de la pesanteur intervient : la chute est ralentie d'un facteur sin A (c'est la célèbre loi des cordes du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) de Galilée, 1602).

En prenant A suffisamment faible, par exemple, sin A = 1/100, alors le temps pour parcourir 1 mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983,...) est 4.47 s : il est possible de pointer z1, z2 et z3 chaque seconde, avec assez de précision. Mais il faut éviter le frottement ; ou bien faire rouler une bille , sans glissement : on montre qu'il faut tenir compte d'un facteur (1/(1+2/5)) = 5/7 ( voir roulement ( En mécanique, le roulement, et plus précisément le roulement sans glissement, est le mouvement d'un corps qui reste en contact avec une surface d'appui sans glisser, qui s'entend généralement pour un corps possédant une symétrie...) sur un plan incliné). Mais à ceci près, on peut vérifier que la distance parcourue est bien z~ t^2. Très astucieusement on raboutait un plan incliné d'angle B ( en alésant soigneusement la jointure) ; et Galilée et Torricelli avaient compris que la bille remontait à la même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) et que les temps étaient comme sqrt( 1 / sin B).

D'ailleurs Galilée avait vite compris que lorsqu'un pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le plus...) oscillait, ce qui se passait à gauche était identique à ce qui se passait à droite. Et il l'interprétait à juste titre comme un mouvement sur une succession de plans inclinés (cf pendule cycloïdal (Le pendule cycloïdal est le mouvement d'un petit anneau glissant sans frottement sur une cycloïde concave ayant pour base l'axe horizontal Ox et suivant l'équation :) et pendule simple): la conclusion était alors patente : la période T était proportionnelle à sqrt(l). Mais il ne l'énonça pas tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de suite!

Par contre , T = 2\pi \sqrt( \frac{l}{g} ) viendra plus tard avec Torricelli et Huygens.

Suite à l'analyse critique de Koyré ( cf "Études galiléennes"), on s'est pris à douter de la réalité des expériences de Galilée, leur réservant le sort de gedanken experiments. Il fallût l'intervention de Stillman Drake (1979) (repris dans son livre, "Galileo : pioneer scientist",University of Toronto Press, 1990, ISBN 0 8020 8725 3), pour que l'on retrouve les notes de travaux pratiques de Galilée.

TP récent

Les élèves laissent tomber un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c),...) vertical gradué très lourd. Des cellules photoélectriques indiquent le passage des encoches A, B, C, D.

Ou bien trois photos sont prises aux temps t1, t2 = t1 + t et t3 = t1 + 2t. On fait les calculs 2.z2 -(z1+z3) pour les 4 points A,B,C,D et on prend la moyenne : c'est g.t^2 .On fait varier t1 : rien ne change (ou presque). On fait varier t , et on porte g.t^2 en fonction de t^2. La valeur de g , on s'en doute , est approchée par défaut : il y a toujours résistance de l'air!Les élèves sont déçus, sauf si on fait une évaluation extrapolée quand t diminue, puis quand t1 diminue : certes leur valeur n'est pas exacte, mais...le "must" est de faire remarquer que les valeurs de g diminuent assez systématiquement si t1 augmente.Et qu'au fond , dans le cours laps de temps 2t, l'accélération était g - av^2 = g- B.t1^2: ils se précipitent à nouveau sur leurs résultats.Grosse joie et gros dépit : c'est bien meilleur , mais quand même la dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent pas à la...) des résultats d'une classe est incontestable : on n'arrivera pas à 4 ChS(CHiffres Significatifs). Le pendule de Kater (Le pendule de Kater est un pendule de métrologie. Il donne la valeur de g (l'accélération due à la gravitation sur la Terre) avec une précision de l'ordre de 10-5 m/s2 et pendant...) restera inégalé avec 5 CHS, pendant plus d'un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la...).(cf chute avec résistance de l'air)

Méthode de Sakuma(1970,au BIPM)

Très jolie manipulation, à juste titre récompensée: on fait tomber, dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), le miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui,...) d'un interféromètre de Michelson, et on enregistre le défilement des franges. Bien sûr, petite astuce technologique, le miroir est un coin de cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant exactement 6...), c'est dire que peu importe son orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la...). On a essayé le catapultage vers le haut et redescente, mais finalement , ce n'est pas tellement meilleur.

La précision actuelle est de 5 microgals ( 1 gal (Le gal (symbole Gal) est une unité CGS d'accélération égale à 1 cm/s2 = 0,01 m/s2, utilisé pour exprimer l'accélération de la...) = 10^(-5)N/kg ): soit une précision de 10^(-12).On VOIT parfaitement la force de marée (La force de marée est une conséquence du gradient gravitationnel s'exerçant sur le diamètre d'un corps. Elle est observable dans tout champ gravitationnel mais...) luni-solaire ( 100 microgals)qui est une composante du poids ,variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) , souvent négligée ( cf pesanteur): par exemple,(lien)

Précautions à prendre !

Dès que l'on cherche cette précision avec 12 ChS, il faut faire très attention à ce que l'on écrit : g, à cette précision de 12 ChS, varie vite avec l'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et...) h de la mesure ; chaque variation de R/2 . 10(-12) = 3.2 micromètres se voit !

Donc, en réalité, on mesure une valeur de g intermédiaire : on doit appliquer les formules de Kepler, ce qui est impressionnant! Soit g en O et g.(1+h/R)^2 au point (Graphie) A de chute: quel est le point B intermédiaire où l'expérience évalue g ?

Newton a traité ce problème : Soit TO = R = 2a et TA = a( 1+cos?) , le temps de chute rigoureux, depuis le périgée O est t/T = ? + sin? ; ce qui conduit au résultat exact. Par approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus...), on trouve le point B tel que OB = OA/6 , à mieux que 10^(-12) près.

Au plateau de Calern ( OCA,Observatoire de la Côte d'Azur), on voit la dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression...) annuelle du plateau de Calern ( la correction de Bouguer reste la même, mais pas celle de Faye!): c'est dire la sophistication des mesures depuis Galilée.

Enfin , il faut veiller à ne point approcher par dessus ou dessous des masses trop importantes . A contrario, le faire permet de mesurer la constante de gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) G ( cf expérience de Cavendish).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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