Constante cosmologique - Définition et Explications

La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre sa théorie compatible avec l'idée qu'il avait alors d'un Univers statique. Après la découverte en 1929 du décalage vers le rouge (Le décalage vers le rouge ou redshift est un phénomène astronomique de décalage vers les...) par Edwin Hubble (Le télescope spatial Hubble (en anglais, Hubble Space Telescope ou HST) est un télescope en...) impliquant un Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) en expansion, Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le...) revient sur l'introduction de la constante cosmologique (La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses...), la qualifiant de " plus grande bêtise de sa vie (La vie est le nom donné :). " Néanmoins des découvertes récentes durant les années 1990, traitant des problèmes tels que l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), la théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...) ou l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) de l'expansion de l'Univers ont provoqué un regain d'intérêt pour ce paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...), qui est par ailleurs compatible avec l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de...) générale.

Description mathématique

NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW [1]

Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.

On considère un espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) caractérisé par le tenseur métrique (Tenseur) gμν de signature (-, +, +, +). On note Rμν le tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété...) associé, et R = g^{\mu \nu} \, R_{\mu\nu} la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...).

Introduction

La constante cosmologique est le terme mathématique noté Λ qui apparaît dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) d'Einstein, à partir de laquelle tous les modèles cosmologiques sont dérivés :

R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \ - \ \Lambda \,  g_{\mu\nu} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ T_{\mu\nu}

G la constante gravitationnelle (environ 6,6742 × 10-11 m3 kg-1 s-2), c la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...) (exactement 299 792 458 m s-1) par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...), et Tμν le tenseur (Tenseur) énergie-impulsion.

Mathématiquement, le membre de gauche de cette équation, qui représente la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) de l'espace-temps, est la forme la plus générale d'un tenseur covariant dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) covariante soit identiquement nulle. En effet, lorsque la connexion est associée à la métrique, on a :

\nabla^{\mu} \, g_{\mu\nu}\ = \ 0

et les identités de Bianchi s'écrivent :

\nabla^{\mu} \, \left[ \, R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \, \right ] \ = \ 0

On en déduit que le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la distribution de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) et énergie dans l'espace-temps, est conservé (de façon covariante) :

\nabla^{\mu} \, T_{\mu\nu} \ = \ 0

Interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...)

Le terme contenant la constante cosmologique peut se placer à droite de l'équation en changeant son signe, et l'égalité reste bien évidemment vérifiée :

R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ T_{\mu\nu} \ + \ \Lambda \  g_{\mu\nu}

Cependant, de ce côté droit, le terme prend une signification différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...), puisqu'il est du " côté de l'énergie-impulsion ". On cherche alors une forme d'énergie que le tenseur d'énergie-impulsion décrivant la matière et/ou le rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de...) ordinaires ne contiendrait pas, mais qui serait décrit par le terme de constante cosmologique :

T_{\mu\nu}^{(\Lambda)} \ = \ \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G} \ g_{\mu\nu}

Cette expression est celle d'un fluide parfait [ST02] dont la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) d'énergie volumique serait :

\rho_{\Lambda} \, c^2 \ = \  \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G}

c'est-à-dire que sa masse volumique (La masse volumique est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par...) ρΛ vaudrait :

\rho_{\Lambda} \ = \  \frac{c^2 \Lambda}{8\pi G}

et dont la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) serait négative :

P_{\Lambda} \ = \ - \ \rho_{\Lambda} \, c^2 \ = \ - \  \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G}

La constante cosmologique contribue ainsi à ce que l'on appelle l'énergie du vide.

Limite newtonienne

Equations d'Einstein en champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) faible

On se place à la limite des champs faibles :

g_{\mu \nu}(x) \ = \ \eta_{\mu \nu} \ + \ h_{\mu \nu}(x) \quad , \quad | h_{\mu \nu}(x) | \ \ll \ 1

ημν est la métrique plate de Minkowski. Dans cette limite, le tenseur de Ricci s'écrit au premier ordre :

R_{\mu \nu}(x) \ = \ [ \dots ]

Considérons alors un espace-temps statique, dont la métrique se met sous la forme :

ds^2 \ = \ - \ g_{00}(x^k) \ dt^2 \ + \  g_{ij}(x^k) \ dx^i \ dx^j \ , \quad i,j,k \ \in \ \{1,2,3 \}

Dans ce système de coordonnées, seule la composante temporelle-temporelle du tenseur de Ricci est non-négligeable à la limite des champs faibles. Elle s'écrit simplement :

R_{00} \ = \ \frac{\Delta g_{00}}{g_{00}}

Δ est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de Laplace-Beltrami à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), calculé avec la partie spatiale gij(xk) de la métrique.

Application au fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) parfait

Si l'on remplit l'univers statique précédent d'un fluide parfait au repos dont la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) volumique est ρ (c'est-à-dire que sa densité volumique d'énergie vaut \rho \, c^2) et la pression P, l'équation de champ d'Einstein s'écrit :

\frac{\Delta g_{00}}{g_{00}} \ = \  \frac{8\pi G}{c^4} \ \left[ \ ( \rho \, c^2 + 3 P ) \ + \ ( \rho_{\Lambda} \, c^2  + 3 P_{\Lambda} ) \ \right]

On a vu plus haut que : \rho_{\Lambda} c^2 = - \, P_{\Lambda}, donc : \rho_{\Lambda} \, c^2 + 3 P_{\Lambda} = - \, 2 \, \rho_{\Lambda} \, c^2. À la limite newtonienne, la pression est faible devant la densité d'énergie : P \ll \rho c^2. De plus, la composante temporelle-temporelle de la métrique s'écrit :

g_{00} \ \sim \  1 \ - \ \frac{2 V}{c^2}

V est le potentiel Newtonien de gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction...) (V \ll c^2). L'équation d'Einstein se réduit alors à une équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...), modifiée par le terme cosmologique :

\Delta \, V \ = \  4 \pi G \ \left[ \ \rho  \ - \ 2 \, \rho_{\Lambda}  \ \right]

Pour un fluide réel, la masse volumique est toujours positive et l'effet gravitationnel est toujours attractif. En revanche, avec une constante cosmologique positive, la masse volumique associée est aussi positive, et la présence du signe " moins " entraîne un effet gravitationnel répulsif.

Le retour de la constante cosmologique

Un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) abandonnée, la constante cosmologique a été récemment remise au goût (Pour la faculté de juger les belles choses, voir Goût (esthétique)) du jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...) après la découverte de l'accélération de l'expansion de l'univers. Elle décrirait une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...), encore hypothétique, qui accélererait l'expansion de l'univers, appelée énergie sombre (En cosmologie, l'énergie sombre est une forme d'énergie hypothétique remplissant tout l'Univers...) (à ne pas confondre avec la matière noire).

En novembre 2005, le USPTO a accordé un brevet ayant pour objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) un vaisseau spatial dont la propulsion (La propulsion est le principe qui permet à un corps de se mouvoir dans son espace environnant....) repose sur la modification locale de la constante cosmologique par la mise œuvre de matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en...) supraconducteurs. Le but est de créer localement des conditions d'anti-gravité. Notons cependant que la communauté scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...) semble sceptique quant au réalisme d'un tel dispositif en raison de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) d'énergie colossale qui serait nécessaire.[réf. nécessaire]

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