Les composantes de l'accélération dans différents systèmes de coordonnées sont bien connues.
Dans le cas de courbes planes, on utilise souvent les coordonnées polaires (r, θ).
Moins connu, est le système utilisant la définition de la courbe comme antipodaire : Soit O l'origine et P la projection de O sur la tangente en M à la courbe (C) : le point P décrit alors la podaire de O à la courbe (C) : on appelle p la distance OP. Réciproquement la perpendiculaire à la podaire au point P enveloppera la courbe (C) à étudier. Un système de coordonnées peu utilisé est le couple (r,p). L'exemple classique est : soit un cercle et un point O intérieur ; l'antipodaire est une ellipse de foyer O ,
L'accélération de Siacci exprime l'accélération d'un point en mouvement, M , sur (C) en fonction de sa distance au point O ( on pose OM := r ) et de la distance de O à la podaire ( on pose OP := p).
Cette accélération est très utile dans le cas d'une Force centrale.
Une deuxième partie donnera les composantes de cette accélération dans le cas général : moins utile , elle permet néanmoins au néophyte en mécanique de bien comprendre la différence entre projections et composantes, puisque la base utilisée sera non-orthogonale.
Newton est sans doute un des premiers à avoir répéré cette formule. Mais la démonstration qu'il en donne est purement géométrique.
Ici, est utilisée la formule de Leibniz : dW = F(r).dr = mv.dv , car elle conduit plus simplement au résultat:
Soit C la constante des aires ( = p.v) ; alors :
La formule est alors remarquable, car le temps n'y intervient plus explicitement (il est masqué dans C²) ; si l'on connaît l'expression podaire de la trajectoire r = f(p) ou p = g(r), alors on obtient directement la loi de force F(r)!
En dérivant cette équation, on obtient -(a²/p³) dp= -(2a/r²) dr. D'où le résultat demandé par Edmund Halley (août 1684): F(r) est en 1/r² !
p = r^(k+1)/a^k , et donc F(r) = - C² aç(2k) (k+1)/ r^(2k+3) : soit les cas :
Alors C = cste. Le travail élémentaire de la Force vaut : F(r).dr = m v.dv, or v² = C²/p² , donc F(r)/m = - C²/p³ . dp/dr
Elle décompose l'accélération selon OM et V, ce qui semble assez raisonnable comme choix de base, et pourtant, bien évidemment la base de Frenet est largement plus facile à utiliser!
Remarquer d'abord l'homogénéité, (1/C)dC/dt homogène à l'inverse d'un temps. Remarquer le Choix d'écrire avec C² plutôt qu'avec C , car on ne peut distinguer entre le plan vu de dessus ou vu de dessous. En règle générale, on prend C positif , MAIS ICI , C(t) est variable !De plus le changement t en -t , ne change pas l'accélération.
Remarquable aussi est le fait que le premier terme ( radial) ne change pas entre la formule force centrale et la formule générale. Certes, le deuxième terme contient dC/dt en facteur.
Lemme connu utilisé : ( r dr) = p . R avec R :=rayon de courbure.(cf note)
Démonstration : on va se contenter d'identifier la formule à celle de Frenet.
Le deuxième terme (1/C)dC/dt = (1/v)dv/dt + un terme A = (1/p)dp/dt.
Il reste donc à démontrer que V. A + le terme radial est normal et égal à v²/R N.
Écrire OM = OP + PT = -p N + (r.T) T = -p N +(r.V) V/v².
La projection de Frenet sur N s'écrit : + (C²/rp³) dp/dr .p= v² .dp/(r.dr) =v²/R
La projection de Frenet sur T s'écrit : (v/p)dp/dt - (C²/rp³).(dp/dr).(r.V) / v ;
Or (r.V) = (r dr)/dt , d'où (v/p)dp/dt - (v²/rp) dp/dt.(r dr)/v qui s'annule.
Remarque : dans le deuxième terme on peut faire disparaître le temps : T (1/p²)dC/ds.