Invariant de Runge Lenz - Définition
Dans le cas du mouvement keplerien, il existe, en plus l'énergie mécanique du moment cinétique, trois autres constantes du mouvement, regroupées sous la forme d'un vecteur appelé " vecteur invariant de Runge-Lenz ", ou " vecteur excentricité " :
Ce vecteur, constant, vérifie entre autres e.L° = 0.
D'après le théorème de Noether, toute quantité conservée est équivalente à une symétrie du problème - cela implique une étude d'ordre théorique sur les groupes de symétrie SO(4) ou SO(3,1).
D'autre part, la contribution d'Hermann à sa découverte est un point d'histoire des sciences assez controversé.
Symétrie SO(4) et dégénérescence
La dégénérescence et l'existence de e sont liées à cette symétrie dite dynamique;
La dégénérescence de l'oscillateur harmonique est liée au fait que z->z² fait passer du mouvement de Hooke à celui de Kepler. En mécanique quantique, cela correspond aux formules de passage des polynômes d'Hermite aux polynômes de Laguerre.
En présence d'une force F° constante, le mouvement de l'oscillateur harmonique n'est que déplacé : il en résulte que dans le cas de Kepler la symétrie n'est pas tout à fait levée, et d'ailleurs le mouvement peut s'intégrer via les fonctions elliptiques, mais le nombre de bifurcations est assez étonnant : c'est l'effet Stark dit classique.
De même, il reste encore de la symétrie dans le cas de deux centres de force identiques fixes : le mouvement est encore intégrable.
Contributions de Hermann à Laplace
Albouy et Chenciner ont travaillé l'historique de la redécouverte de ce vecteur excentricité, qui remonte apparemment à Hermann. Mais on ne sait pas si le problème cinématique suivant avait été résolu : un bateau navigue en laissant un phare F à babord, au cap 90° et donc décrit un cercle autour du phare, et son hodographe est un cercle. Mais avec un courant uniforme supplémentaire de valeur u inférieure à la vitesse V° du bateau, le bateau décrit une ellipse de foyer F : était-ce l'elliptoïde de Hooke ?
Au XVIIIe siècle, l'affaire est entendue, et Laplace utilise le vecteur excentricité pour des calculs de perturbations du mouvement de Kepler.