En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.
Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux droites sécantes. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...). Cependant, l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) est maintenant d'employer le mot de secteur angulaire pour une telle figure. L'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) peut désigner également d'une portion de l'espace délimitée par deux plans (angle diédral). Il est possible de définir la mesure de tels angles, et cette mesure porte couramment mais abusivement le nom d'angle elle aussi.
En un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) plus abstrait, l'angle est une classe d'équivalence, c'est-à-dire un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) obtenu en assimilant entre eux tous les angles-figures identifiables par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...). L'une quelconque des figures identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait.
Il est possible de définir une notion d'angle orienté en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des espaces vectoriels préhilbertiens ou des variétés riemanniennes.
Le mot angle dérive du latin angulus, le coin.
Un secteur angulaire est une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...) obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.
L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les unités utilisées pour le quantifier sont le radian (Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).), le quadrant (En géométrie euclidienne : quart de la circonférence du cercle (lui-même divisé en 100...) et ses subdivisions le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) et le grade (Le mot grade a plusieurs significations :). Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Lorsque l'angle est au sommet d'un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.
L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la " vitesse " à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre lorsque l'on s'éloigne du point (Graphie) d'intersection. C'est la mesure de l'inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite...) d'une droite par rapport à l'autre.
Pour évaluer cet angle, cette " proportion de surface ", on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'aire de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de tour. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au quadrant.
Une unité couramment utilisée est le degré, qui consiste à subdiviser le quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. ...) d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3600 de degré. On utilise plus rarement le grade, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.
L'unité internationale de mesure des angles est cepdendant le radian, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...). Le tour complet correspond donc à 2π radians.
Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, notamment de triangles, en utilisant la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...).
Dans certains cas, les angles sont exprimés par leur tangente. Par exemple, une pente est exprimée en pourcent, c'est le nombre de mètres que l'on monte (ou descend) lorsque l'on parcourt 100 m par rapport à l'horizontale ; si α est l'angle entre la droite de plus grande pente et l'horizontale, alors la pente en % est égale à 100×tan(α). En vol à voile (Le vol à voile est une activité de loisirs et de compétition au cours de laquelle...) (aéronautique), la finesse d'une voile est le nombre de mètres dont on descend lorsque l'on a parcouru 100 m horizontalement (en absence de vent) ; il s'agit également de cent fois la tangente de la pente.
" Sur le terrain ", les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé goniomètre ; il comporte en général une règle courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) graduée en degrés, appelée rapporteur (Un rapporteur (ou rapporteur d'angle) est un outil utilisé en géométrie pour mesurer...).
Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom particulier
angle | nombre de tour | nombre de quadrants | radians | degré | grade |
---|---|---|---|---|---|
tour complet | 1 tour | 4 quadrants | 2π rad | 360 ° | 400 gr |
angle plat | 1/2 tour | 2 quadrants | π rad | 180 ° | 200 gr |
angle droit | 1/4 de tour | 1 quadrant | π/2 rad | 90 ° | 100 gr |
angle nul | 0 tour | 0 quadrant | 0 rad | 0 ° | 0 gr |
L'angle droit est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites " orthogonales " ou " perpendiculaires ".
Les qualificatifs suivant sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables
Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles on emploie les expressions suivantes :
On emploie encore d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus justement, la position relative de secteurs angulaires.
Remarque : deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : Par exemple, dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) ABE rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) en B, les angles  et Ê sont complémentaires.
Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.
Un angle géométrique est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) pouvant être représenté par un secteur angulaire. On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin) la direction visée par rapport au nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) (angle donné par une boussole)… On confond fréquemment " mesure de l'angle " et " angle". Ainsi par exemple un angle "plat" est appelé abusivement angle 'égal' à 180.
Note : Cet abus est appliqué largement et volontairement dans la suite de cet article.
D'autre part un angle droit par exemple, peut être représenté par plusieurs secteurs angulaires différents, mais comme ils sont tous 'superposables', ils représentent tous le même angle. En mathématiques on parle de "classe d'équivalence".
Remarque : Ce problème se pose aussi lorsqu'on essaie de distinguer "fraction" et "rationnel".
Si le plan est orienté, alors les angles peuvent être positifs ou négatifs selon le sens dans lequel ils " tournent ". Par convention, on oriente le plan dans le sens dit "trigonométrique", c'est-à-dire dans le sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) des aiguilles d'une montre (ou " sens anti-horaire "). Si l'on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle, donc son signe ; ainsi :
Les angles sont définis à un nombre entier de tours près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis à 2π près (" à deux pi près "). Par exemple, si l'angle α est droit de sens direct, il est noté :
ou bien
Cette dernière notation se lit : " alpha est congru à pi sur deux modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) deux pi ".
On remarque notamment que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...), le fait de choisir la " petite " ou la " grande " portion de plan importe peu, puisque α ≡ α - 2π (cf. illustration ci-dessus).
Les angles sont définis à partir de classes d'équivalence de la manière suivante :
Les isométries de déterminant 1 (dites " positives ") transforment un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) unité (de norme 1) en un autre vecteur unité. Pour un couple de vecteurs unités donné, il existe une isométrie positive f transformant en , on a
Soit une autre isométrie positive g et et deux autres vecteurs tels que
Nous pouvons démontrer que
et que l'ensemble des couples de vecteurs unités vérifiant
est une classe d'équivalence sur f, chaque isométrie f détermine une classe d'équivalence.
Nous appelons angle θ la classe d'équivalence de ce couple, l'isométrie associée est la rotation d'angle θ.
Définition à revoir, à compléter et à illustrer
Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour orienter le plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal .
Orientation d'un plan par un vecteur normal
Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.
Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection orthogonale (En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une...) sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).
Pour définir l'angle entre deux droites quelconques de l'espace, on considère l'angle que font leurs vecteurs directeurs (dont le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) est égal au produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) de ces vecteurs unitaires), ou encore l'angle planaire (Les planaires sont des vers plats libres nageurs ou rampants. Des espèces vivent en mer,...) que fait une des deux droites avec une quelconque parallèle à l'autre qui la coupe. Cet angle est définit modulo les mêmes choix d'orientation évoqués ci-dessus.
On définit également les angles solides : on prend un point (parfois appelé " point d'observation ") et une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) dans l'espace (la " surface observée "), l'angle solide (En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue...) est la proportion de l'espace délimitée par le cône ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour (COmet Nucleus TOUR (CONTOUR) est une sonde spatiale de la NASA faisant partie du Programme...) de la surface. L'unité est le stéradian (sr en abrégé), l'espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite...) fait 4π sr.
Notes