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Moment de force (mécanique)

En mécanique, le terme moment peut désigner plusieurs grandeurs physiques souvent liées à la considération d'un solide :

  • les moments de force, moment de flexion, moment de torsion et moment d'encastrement, sont des efforts.
  • le moment d'inertie représente la répartition des masses d'un solide autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) d'un axe.
  • le moment angulaire est lié à la notion de quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système...)
  • le moment dynamique est lié à la notion de quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un...) d'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique la...).
  • le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) vitesse (On distingue :) d'un point (Graphie) d'un solide, est le moment du torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il subit de la part d'un environnement extérieur.) cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du...).

Moment d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...)

Prenez une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer on peut poser une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou...) sur la partie en porte-à-faux. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même, on peut au même endroit, placer une charge plus grosse et constater la différence de comportement.

Le pouvoir de basculement (Le basculement, dans le domaine de l'astronautique, est l'inclinaison progressive d'un véhicule spatial autour d'un axe quelconque. Le basculement peut être utilisé pour modifier la direction du vecteur poussée.) dépend donc de l'intensité de la force, mais aussi de la position relative du point d'application et du point de rotation réel ou virtuel considéré.

Ces distinctions sont représentables par le modèle de moment d'une force qui est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...) autour d'un point donné, qu'on nommera aussi pivot.

Moment par rapport à un point

Expression vectorielle

Le moment d'une force \vec F s'exerçant au point A par rapport au pivot P, est le vecteur noté \vec{M}_{\vec{F}/P}:

\vec{M}_{\vec{F}/P} = \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} = \vec{F}\wedge\overrightarrow{AP}.

\scriptstyle \wedge désigne le produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard...).

Remarque sur la notation
il existe plusieurs variantes de notation des moments de force; certaines (comme sur l'image ci-contre) comportent des parenthèses autour du vecteur, parfois autour de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...). D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de nullité de moments.

Ce vecteur est à la fois orthogonal à \vec F et au bipoint \overrightarrow{AP} et finalement normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par \vec{M}_{\vec{F}/\Delta}).

Si d est la distance orthogonale du pivot P à la droite d'action, c?est-à-dire PH, alors sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen...) vaut :

\left\|\vec{M}_{\vec{F}/P}\right\| = \bigl\|\vec{F}\bigr\| \cdot d.

La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) d est appelée bras de levier.

Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en Newton-mètres (Nm), dans le système international d'unités.

Cas de nullité du moment

Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force; de par les propriétés du produit vectoriel:

  • la force est nulle;
  • le bipoint \overrightarrow{AP} est \vec{O}. La force est donc appliquée en P.
  • \vec{F} et \overrightarrow{AP} sont colinéaires; alors la droite d'action passe par P, ce qui inclut aussi le cas précédent.

Formule de transport (Le transport est le fait de porter quelque chose, ou quelqu'un, d'un lieu à un autre, le plus souvent en utilisant des véhicules et des voies de communications (la route, le canal ..). Par...) du moment

Lorsqu'on connaît le moment d'une force en un point, il est possible de le recalculer en n'importe quel point de l'espace. Cette opération est inévitable lorsqu'on manipule les torseurs d'actions mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier AP. On montre alors la relation suivante:

\vec{M}_{\vec{F}/Q} = \vec{M}_{\vec{F}/P}+\overrightarrow{QP} \wedge \vec{F}.

On peut vérifier alors: \vec{M}_{\vec{F}/P} = \vec{M}_{\vec{F}/A}+\overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}= \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}.

En réalité une force est modélisée par un vecteur (représentant la force) et son point d'application. Il est possible de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique. La relation d'équilibre liée au principe fondamental de la statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) devient une somme de torseurs ; en pratique, on effectuera parallèlement la somme des forces, et la somme des moments tous exprimés au même point, d'où l'intérêt de la formule de transport de moments.

Moment par rapport à un axe

Lorsqu'un solide est animé d'un mouvement de rotation effectif autour d'un axe (cas d'une roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.) guidée par un palier) il est intéressant de ne considérer que la part utile du moment d'une force. On définit le moment de la force par rapport à l'axe (?) par

M_{\vec{F}/\Delta} = \vec{M}_{\vec{F}/P} \cdot \vec{u} = \left(\overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}\right) \cdot \vec u = \left[\overrightarrow{PA}, \vec F, \vec u\right],

\vec{u} est un vecteur unitaire de (?), P est un point quelconque de (?) et où les crochets dénotent le produit mixte.

En résumé il s'agit de la composante suivant \vec{u} du moment de \vec{F} calculé en P. De ce fait il s'agit d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) scalaire : " \cdot \vec{u} " est une opération de projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une...) sur l'axe \vec{u}. Sur le plan mécanique, c'est la seule composante (dans le cas d'une liaison parfaite au pivot) susceptible de fournir (ou consommer) une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :). Le "reste" du moment sera subi par le palier. Cette partie complémentaire intéressera le technologue qui prendra en compte ces valeurs pour le dimensionnement du palier.

Le moment par rapport à l'axe est nul si

  • le moment par rapport au point est nul (cas général précédent).
  • la force est dans la direction de l'axe considéré.

Couple de forces

Si on considère deux forces opposées \vec{F} appliquée en A et -\vec{F} appliquée en B, points distincts d'un même système, il est évident que leur somme est nulle. Qu'en est-il de la somme de leur moment en un point P de l'espace ?

\begin{matrix} \vec{M}_{\vec{F}/P} + \vec{M}_{-\vec{F}/P} &=& \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} + \overrightarrow{PB} \wedge(- \vec{F}) \\  &=& \overrightarrow{PA} \wedge \vec{F} + \overrightarrow{BP} \wedge\vec{F} \\  &=& \left(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{BP}\right) \wedge \vec{F} \\  &=& \overrightarrow{BA} \wedge \vec{F} &=& \vec{C} \end{matrix}.

On remarque que le résultat est indépendant du point de pivot P considéré. Cette quantité \scriptstyle\vec C est appelée couple. Il n'est pas besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins...) de préciser le point de rotation. Les deux forces constituent alors un couple de forces.

Outre les autres cas évidents, le couple est nul lorsque les deux forces ont la même droite d'action. Le couple augmente avec l'intensité commune des forces, mais aussi avec l'éloignement des points. Il est optimal lorsque \scriptstyle\vec{AB} et \scriptstyle\vec{F} sont orthogonaux.

Cas général

En réalité le couple n'existe pas intrinsèquement. Il est toujours associé à un ensemble de forces s'annulant vectoriellement mais dont les moments s'ajoutent sans s'annuler. C'est par exemple le résultat de l'action du vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface d'une planète. Les vents les plus violents connus ont lieu sur Neptune et sur Saturne. Il est essentiel à tous les phénomènes...) sur une éolienne (Une éolienne est un dispositif qui utilise la force motrice du vent. Cette force peut être utilisée mécaniquement (dans le cas d'une éolienne de pompage), ou produire de l'électricité (dans le...), ou l'action des forces électromagnétiques sur l'induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) d'un moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail...) électrique.

On ne doit donc pas faire le raccourci " somme des moments = moment de la somme ". Cela n'est vrai que pour un ensemble de forces appliquées au même point. Cela montre enfin qu'une action mécanique n'est pas représentable par un seul vecteur force. La considération du point d'application est primordiale.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Varignon

Le moment en P de la résultante \vec R de plusieurs forces \vec F_1, \vec F_2, \vec F_3,\ldots concourantes en A est égal à la somme des moments en P de ces différentes forces :

\vec M_{\vec R/P} = \sum_i \vec M_{\vec F_i/P},

avec \vec R = \sum_i \vec F_i.

En effet :

\vec M_{\vec R/P} = \vec{PA}\wedge\vec R = \vec{PA}\wedge\left(\sum_i \vec F_i\right) = \sum_i \vec{PA} \wedge \vec F_i = \sum_i \vec M_{\vec F_i/P}

En dynamique

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant...) du moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) par rapport au temps :

\vec{M}_{F/\Delta} = \frac{{\rm d}\vec L}{{\rm d}t}

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) en rotation.

On peut aussi montrer que si \vec{\omega} est le vecteur vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.), c'est-à-dire le vecteur

  • colinéaire à l'axe de rotation ?,
  • dont la norme est la vitesse angulaire
  • et orienté de façon que l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) positive d'un plan normal correspond au sens de rotation, alors :
\vec{L} = J_{\Delta} \cdot \vec{\omega}

J? est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation ?.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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