Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Notation positionnelle

Cet article fait partie de la série
Systèmes de numération
Notations Notions
  • Additive
  • Hybride
  • Positionnelle
  • Base
  • Chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.)
  • Nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».)
Numérations
Additives Positionnelles
  • arabe
  • arménienne
  • ionienne
  • copte
  • cyrillique
  • égyptienne
  • éthiopienne
  • gotique
  • grecque
  • hébraïque
  • romaine
  • tchouvache
  • à bâtons
  • babylonienne
  • chinoise
  • indienne
  • japonaise
  • maya
  • moderne
  • mongole
  • thaï

La notation positionnelle (La notation positionnelle est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé base du système de...) est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé base du système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des...). Chaque position peut être représentée par un symbole ou par une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une...) limitée de symbole. La valeur d'une position est celle du symbole de position ou celle de la précédente position apparente multipliée par la base. Le nombre de symboles nécessaires est au moins égal à la base ou à la plus grande base auxiliaire utilisée. Le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une...) usuel utilise dix symboles, plus les symboles pour les nombres signés et les nombres à virgule, tandis que le système sexagésimal (Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60. Notamment utilisé pour mesurer le temps ou les angles (en trigonométrie) et pour préciser des coordonnées géographiques.) babylonien se sert d'un système décimal auxiliaire pour chaque position.

Systèmes de notation

Plusieurs notations positionnelles, dont certaines hybrides (positionnelles et additives) permettent de représenter les nombres. Voici différentes manières d'écrire le nombre 9018 dans quelques uns de ces systèmes.

Notations hybrides

Les notations hybrides utilisent des symboles représentant les puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de la base, comme dans les numérations chinoise et japonaise. Ainsi, ? = 10, ? = 102, ? = 103, ? = 104 dans le système japonais. Ces numérations utilisent, comme pour les puissances de la base, des symboles représentant les sous-puissance de la base. Ainsi, ? = 10-1, ? = 10-2, ? = 10-3, ? = 10-4 dans le système japonais.

  • Exemple

9018 s'écrit ???? avec le système utilisé pour la numération japonaise (Le tableau ci-dessous présente les différentes façons d'écrire les nombres en japonais. Le système numéral japonais est calqué sur le modèle chinois. Les sinogrammes...) (décimale), soit 9 × 1000 + [1×]10 + 8.

Notations positionnelles et additives

Pour la numération babylonienne (Les Babyloniens ont utilisé une grande variété de systèmes de numération : sexagésimal strict avec les clous et chevrons, décimal mélangeant du sexagésimal ou...), à caractère sexagésimale, les nombres étaient formés de manière additive jusqu'à 60, les valeurs ainsi obtenues étant combinés selon le principe positionnel.

  • Exemple

9018 s'écrit avec le système utilisé pour la numération babylonienne (sexagésimale), soit 2[×3600] + 30[×60] + 30 + 8, ou 2,30,38 avec la virgule comme séparateur de positions.

Notations exclusivement positionnelles

  • Avec des chiffres formés par une juxtaposition d'éléments

9018 s'écrit

avec le système utilisé pour la numération maya (La numération maya est une numération de position de base 20 (à une irrégularité près).) (vigésimale, mais irrégulière), soit 1[×7200] + 5[×360] + 0[×20] + 18, ou 1,05,00,18 avec la virgule comme séparateur de positions.

  • Avec base auxiliaire

9018 s'écrit 2,30,38 avec le système (sexagésimal) utilisé pour la traduction des textes mésopotamiens, soit 2[×3600] + 30[×60] + 38.

  • Sans base auxiliaire, sans zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...)

9018 s'écrit 8X18 dans le système positionnel expérimental sans zéro (décimal), soit 8[×1000] + 10[×100] + 1[×10] + 8, ou 8,10,1,8, avec la virgule comme séparateur de positions.

  • Sans base auxiliaire, avec zéro

9018 s'écrit ???? avec le système utilisé pour la numération thaï (décimale), soit 9[×1000] + 0[×100] + 1[×10] + 8, ou 9018, de même qu'avec nos chiffres arabo-indiens.

Symboles positionnels

De même que dans notre système, aucun symbole n'est employé pour séparer chaque position dans les systèmes de numération babylonien, maya et thaï. Cependant, en l'absence de zéro positionnel, dans le sytème babylonien, pouvait signifier, par exemple, aussi bien un que soixante. Cependant, dans d'autres écritures, ces marqueurs de position s'avèrent systématiques, comme la virgule utilisée pour la traduction des textes mésopotamiens.

Seuls les nombres entiers avaient une représentation dans le système de numération maya. Dans la numération babylonienne, contrairement à ponctuation que nous plaçons entre le chiffre des unités et celui des dixièmes, aucun marqueur de position ne séparait la partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :) de la partie fractionnaire du nombre. Ainsi, pouvait, par exemple, non seulement signifier un et soixante, mais aussi un soixantième dans le système babylonien. Quant à elle, la numération thaï utilise, comme dans notre système, un marqueur de position pour séparer les puissances de mille.

Historique

Période antique

La mise en place des systèmes arithmétiques positionnels, en particulier du système décimal, fut initiée par les chinois dans leur numération chinoise (La numération chinoise sert à écrire des nombres en chinois. Elle est constituée de caractères chinois et remonte donc à la naissance de...) au IIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...) avant J-C, puis finalisée vers l'an 500 de l'ère chrétienne en Inde.

Dans l'Antiquité, on utilisait exclusivement de nombreux systèmes non-positionnels, dont l'exemple le plus connu est la numération romaine (Les chiffres romains étaient utilisés par les Romains de l'antiquité pour, à partir de seulement sept lettres, écrire des nombres entiers jusqu'à environ...), où le nombre trente-huit, par exemple, s'écrit à l'aide de pas moins de sept chiffres (XXXVIII), tandis que le nombre cinquante, se contente d'un seul (L). Il est clair que, dans un tel système de notation, une simple opération comme une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) se révèle pratiquement impossible à effectuer sans abaque (boulier, tablettes de calcul à jetons, ou autre outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se...) de calcul).

Moyen Âge

C'est par l'intermédiaire d'Al-Khuwarizmi (qui a donné le mot algorithme) que les Européens ont pris connaissance de l'existence de la numération indienne (L'Inde a développé un grand nombre de systèmes de numération, dont chacun peut, à juste titre, être appelé système numérique indien. Les systèmes présentés ici sont décimaux.) positionnelle. Vers l'An mille, après avoir mis plus de cinq siècles à s'intéresser à l'existence de ce nouveau système, ils le rejetèrent encore pendant près de cinq siècles (" On ne va pas se compliquer la vie ! Cela a toujours été comme cela ! Pourquoi, nous, les petits comptables, on aurait appris dans notre formation l'usage des bouliers et des jetons, si cela n'était pas nécessaire ! Qu'est-ce qu'il peut venir de bon de " peuplades " éloignées comme les Indiens ou encore des Arabes " mécréants " ! Et ce " cifr ", le nul, le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), le néant qui fait peur, n'est-ce pas le signe du diable ? " Et pourtant des ecclésiastiques ouverts comme le français Gerbert d'Aurillac, le futur pape de Rome Sylvestre II, qui le premier décrit le système qu'utilisaient les Arabes d'Espagne, ne dit rien dans ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...). Il décrit le nouveau système avec intérêt et bienveillance.

C'est pourquoi l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique,...) du Moyen Âge continuait à faire sa petite comptabilité moyennant des bouliers et des jetons, écrivant les résultats dans des textes en latin et, naturellement, en utilisant les chiffres romains non-positionnels. On peut dire que le système arithmétique positionnel (La notation positionnelle est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé base du système de numération. Chaque position peut être...), tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) comme les chiffres dits arabes, n'était pas utilisé dans l'Europe du Moyen Âge, sauf par des utilisateurs isolés et suspects aux yeux des autres, comme par exemple le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences...) italien Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais...) et plus tard, bien sûr, le mathématicien français Nicolas Chuquet.

C'est seulement à la Renaissance, avec le réveil des sciences, que l'Europe enfin comprit, que l?on ne pouvait pas faire l'impasse de ce nouveau système. Mille ans (!) après son invention en Inde. Enfin tout le monde (Le mot monde peut désigner :) occidental admet, qu'en fait, cela est beaucoup plus simple comme ça. La lutte entre les abacistes et les algoristes, qui avait duré près de trois siècles, conduit enfin à la victoire du camp de ces derniers.

La notation positionnelle a rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets et des...) possible une représention simple de tous les nombres. Ce fut une des découvertes majeures de l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l'Amérique centrale....). Elle a permis le développement de l'arithmétique, et des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) modernes.

Anecdotes

  • Le système de numération Shadok est quaternaire et formé des nombres ga, bu, zo et meu. Après quoi les Shadoks ne comptent plus et mettent le tout dans une grande poubelle, ce qui correspond au principe même de la numération de position.
  • Le système babylonien à base 60 a survécu dans notre façon de subdiviser les heures (L'heure est une unité de mesure  :) et les degrés, tous deux en minutes et secondes. Dans certaines circonstances, les deux-points sont utilisés comme un séparateur de positions sexagésimales. Ainsi, 13 h 20 min 15 s s'écrit aussi 13:20:15.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.