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Espace euclidien

Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En physique, l'espace où nous évoluons est usuellement modélisé par un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles...) euclidien de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) 3.

Première approche

L'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace,...) tire son nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et...) grec Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un...). Historiquement, l?espace euclidien est seulement l?espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans...) de dimension 2 ou 3 (plan ou espace) dans lequel ont été définis les points, les droites, les distances et les angles. À ces objets ont été affectées des propriétés comme " par deux points distincts ne passe qu'une seule droite ", ou bien " la somme des angles d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) vaut deux droits ".

Les transformations caractéristiques de ces espaces euclidiens sont les isométries: elles transforment des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un...) en d'autres figures géométriques de même dimension. Elles sont à l'origine par exemple des cas d'égalité des triangles. Les outils fondamentaux de travail dans l'espace euclidien sont la règle et le compas. Ces espaces euclidiens naturels sont les univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) où sont démontrés tous les grands théorèmes de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de...) ou de la géométrie dans l'espace. Ils sont les objets d'étude de tous les géomètres avant Euclide jusqu'aux mathématiciens du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...).

À cette date cependant, cette vision de l'espace euclidien naturel commence à montrer ses limites. Il est alors nécessaire d'en donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) plus formelle et plus générale . La définition du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est...) de deux vecteurs par

\langle\vec u|\vec v\rangle = \|\vec u\| \cdot \|\vec v\| \cdot \cos(\widehat{\vec u, \vec v})

va permettre cette mutation.

Définitions mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...)

Espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) euclidien

Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel sur \R, de dimension finie et muni d'un produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) : \langle\vec u|\vec v \rangle. On peut alors y définir une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...), appelée "norme euclidienne" :

\|\vec u\|=\sqrt{\langle\vec u|\vec u\rangle}

et une notion d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) : l'angle géométrique (u,v) de deux vecteurs non nuls est le réel ? compris entre 0 et ? tel que

\cos(\theta) = \frac{\langle\vec u|\vec v\rangle}{\|\vec u\|\cdot\|\vec v\|} (ce quotient est compris entre -1 et +1 d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Les transformations caractéristiques de ces espaces euclidiens sont les transformations conservant le produit scalaire et la norme. Ce sont les automorphismes orthogonaux (voir groupe orthogonal).

Espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) euclidien

Un espace affine euclidien est un espace affine associé à un espace vectoriel euclidien. On peut y définir une distance, des notions d'angle géométrique et on retrouve en particulier la propriété de Pythagore et sa réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) ainsi que celle de la somme des angles d'un triangle.

Les transformations fondamentales des espaces affines euclidiens sont les isométries, transformations conservant les distances, on démontre que ce sont des applications affines dont l'application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces...) associée est un automorphisme orthogonal.

Exemples d'espaces vectoriel euclidien

  • L'espace \R^n, muni du produit scalaire canonique
\langle (x_1,x_2,\cdots,x_n) | (y_1,y_2,\cdots,y_n) \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n = \sum_{i=1}^n x_iy_i
est un espace vectoriel euclidien (dit canonique) de dimension n
  • L'espace vectoriel des polynômes réels de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) inférieur ou égal à n
    • muni du produit scalaire canonique
      \left\langle\sum_{i=0}^{n}a_iX^i \Bigg | \sum_{i=0}^{n}b_iX^i\right\rangle = \sum_{i=0}^{n}a_ib_i
      est un espace euclidien de dimension n + 1
    • muni du produit scalaire
\langle P | Q\rangle = \int_0^1P(t)Q(t)\ {\rm d}t
est aussi un espace euclidien dont la norme est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans...) de la précédente.

Propriétés des espaces euclidiens

Outre les propriétés inhérentes à la norme et au produit scalaire (voir aussi forme bilinéaire), l'espace euclidien possède des propriétés supplémentaires dues à son caractère d'espace de dimension finie.

Base

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace euclidien possède une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) (chaque vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) de la base est de norme 1, le produit scalaire de deux vecteurs différents est toujours nul). Plus précisément : si (u_1, u_2, \cdots, u_n) est une base de E, il existe une base (v_1, v_2, \cdots , v_n) orthonormale et telle que, pour tout entier k de 1 à n, \operatorname{Vec}(\{u_1, u_2, \cdots, u_k\}) = \operatorname{Vec}(\{v_1, v_2, \cdots, v_k\})

Tout espace vectoriel euclidien de dimension n est isomorphe à \R^n.

Tout espace vectoriel euclidien est complet, c'est donc un cas particulier d'espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les...).

Orthogonalité

Deux vecteurs dont le produit scalaire est nul sont dits orthogonaux.

À tout sous-espace vectoriel F d'un espace euclidien E on peut associer un unique sous-espace F^\bot formé de tous les vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F, c'est l'orthogonal de F. L'orthogonal de l'orthogonal de F est F. Un sous-espace F et son orthogonal sont supplémentaires.

Vecteur et forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en...) associés

L'existence de sous-espaces orthogonaux supplémentaires permet de définir la notion d'hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) orthogonal à un vecteur v non nul et permet de démontrer l'existence d'un isomorphisme entre E et l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des formes linéaires sur E.

Si x est un vecteur de E, l'application " produit scalaire par x " s_x : y \mapsto \langle x|y\rangle est une forme linéaire, dite associée à x.

L'application qui à x associe sx est un isomorphisme d'espaces vectoriels de E dans E * , espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les...) de E.

Adjoint d'un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, il existe un unique endomorphisme noté u * et appelé adjoint de u, tel que

\forall x \in E,y\in E, \qquad \langle u(x)|y \rangle=\langle x|u^*(y) \rangle

On définit les notions d'endomorphisme autoadjoint ou symétrique (u = u * ), anti-autoadjoint ou antisymétrique (u = ? u * ).

Dans une base orthonormale ou orthonormée, la matrice représentative de u * est la transposée de celle de u.

Notions connexes

  • Un espace vectoriel sur \R ou sur \mathbb C muni d'un produit scalaire et de dimension infinie est un espace préhilbertien. L'absence de la finitude de la base lui fait perdre la liste de propriétés précitées. Si l'espace est complet c'est un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.).
  • Un espace vectoriel sur \mathbb C muni d'un produit scalaire et de dimension finie est appelé espace hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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Jeudi 19 Juillet 2018 à 00:00:10 - Physique - 0 commentaire
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