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Relativité générale
Représentation bidimensionnelle de la distorsion spatio-temporelle. La présence de matière modifie la géométrie de l'espace-temps.
Représentation bidimensionnelle de la distorsion spatio-temporelle. La présence de matière modifie la géométrie de l'espace-temps.

La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.). Dans ce cadre, la présence d'une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et...) déforme localement l?espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du temps...). Le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien dérive du grec, qui connaît la...) Thibault Damour utilise à ce sujet l'expression imagée d'un espace-temps élastique.

Cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) est considérée comme l'?uvre majeure d?Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le 18 avril 1955 à Princeton, New Jersey) est un physicien qui fut successivement allemand, puis apatride (1896), suisse (1901), et enfin...), dont la construction l'occupa de 1907 à son achèvement, réalisé seulement à la fin de 1915. Aucun des nombreux tests expérimentaux effectués n'a pu la mettre en défaut à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son...).

Généralités

Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation

La théorie de la gravitation proposée par Newton à la fin du XVIIe siècle[1] est basée sur la notion de force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) de gravitation agissant selon le principe d'action à distance. Ce caractère instantané est incompatible avec la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important...) restreinte proposée par Einstein en 1905. En effet, selon cette dernière, aucune information ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est...) dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). Par ailleurs, le principe de l'action à distance repose sur celui de la simultanéité (La notion de simultanéité est intuitive dans un univers, celui de Newton, où le temps est absolu et où temps et espace sont indépendants. Dans l'univers de la relativité restreinte proposé en 1905 par Albert...) de deux événements : la force que le Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification...) exerce sur la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...) à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) donné est déterminée par leurs propriétés " à cet instant ", indépendamment de la distance qui les sépare. La relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la...) stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) que le concept de simultanéité de deux événements n'est pas défini[2] : la proposition précédente est donc incompatible avec la relativité restreinte, censée être universelle. Cette contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) amène Einstein à développer une théorie de la gravitation qui soit compatible avec la relativité restreinte. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une...).

Géométries non euclidiennes

La description géométrique de la théorie physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) due à Einstein trouve ses origines dans les avancées de la géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.), qui résultent des différentes tentatives au cours des siècles de démontrer le cinquième postulat d?Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la...), qui énonce que : " par un point on ne peut mener qu?une parallèle à une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) ". Ces efforts culminèrent au XIXe siècle avec la découverte par les mathématiciens Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky, János Bolyai et Carl Friedrich Gauss que ce postulat pouvait être remplacé par un autre (plusieurs parallèles possibles, ou pas de parallèle du tout), et ne constituait donc qu?un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) arbitraire. Aucune de ces nouvelles géométries n?est plus " vraie " que celles d'Euclide : il s?agit simplement d?outils conceptuels différents pouvant servir de support à des usages également différents. La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) d?une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés...), par exemple, peut indifféremment être considérée comme la surface d?un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) dans un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de...) à 3 dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) ou dans un espace non euclidien particulier à deux dimensions, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. ...) représentation pouvant s?avérer plus commode dans certains cas.

Pour illustrer, si l?univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) se caractérise par une telle géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...), qu?un physicien tient un bâton verticalement, et qu?à une certaine distance, un cartographe mesure sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) par une technique de triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres...) basée sur la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de...), rien ne garantit qu?il obtiendra le même résultat si le physicien lui apporte le bâton et qu?il le mesure directement.[3]

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de...) de ces résultats, dénommée géométrie non euclidienne, fut réalisée par Bernhard Riemann, un élève de Gauss, mais elle fut considérée comme simple curiosité mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures...) jusqu?à ce qu?Einstein utilise les travaux de son professeur Hermann Minkowski (qui utilisait des nombres complexes pour obtenir des espaces non euclidiens faciles à traiter en géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.)? et exprima en 1907 dans cette description la transformation de Lorentz !) pour développer sa théorie de la relativité générale.

Espace plat
Espace plat

De la relativité de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les...) à la relativité restreinte

  • Au XVIème siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où...), Galilée affirme, et explique, que les lois de la physique sont les mêmes dans des référentiels en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres. C'est le principe de relativité (Le principe de relativité affirme que les lois physiques sont les mêmes pour tous les observateurs. Ou, ce qui revient au même, que les lois physiques doivent...) (de Galilée).
  • Il utilisera aussi l'additivité des vitesses qui a comme conséquence que n'importe quelle vitesse (On distingue :) peut être atteinte: ce n'est qu'une question de moyen. En un mot : si une balle roule à 10 km/h dans un train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des marchandises), et peut être...) (et dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) de la marche) qui va lui-même à 100 km/h par rapport au sol, alors la balle va a 110 km/h par rapport au sol.
  • Au XIXe siècle, le physicien écossais James Clerk Maxwell formula un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) d?équations, les équations du champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l'on peut...), qui conduisait à prédire la propagation d'ondes électromagnétiques de vitesse c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} dans un milieu électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.) de constante ?0 et magnétostatique (La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps.) de constante ?0. Cette vitesse phénoménalement élevée, même dans un milieu raréfié comme l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...) avait la même valeur que la vitesse de propagation de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement liée...). Il proposa que la lumière ne soit rien d'autre qu'une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de...) électromagnétique.
  • Les théories corpusculaires de la lumière semblaient compatibles avec le principe de relativité de Galilée; ainsi que la théorie de Maxwell qui penchait en faveur de l'existence d'un Éther luminifère envisagé par Huygens. Mesurer la vitesse du système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de lui (autrement dit, notre système...) par rapport à ce milieu élastique fut l'objet des expériences d?interférométrie (L'interférométrie est une méthode de mesure qui exploite les interférences intervenant entre plusieurs ondes cohérentes entre elles.) menées par Michelson et Morley. Leurs expériences ont démontré que le vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface d'une planète. Les vents les plus violents connus ont lieu sur Neptune et sur...) apparent d'éther était nul, quelle que soit la période de l'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.). Supposer que l'éther était constamment accroché à la terre aurait été une remise en cause trop grave du principe de relativité de Galilée. D'autre part, l'éther présentait l'inconvénient d'être à la fois impalpable et très "rigide" puisque capable de propager les ondes à une vitesse phénoménale.
  • Il fallut attendre Einstein en 1905 pour remettre en cause radicalement la notion d'éther, porter au plus haut le principe de relativité de Galilée en postulant que les équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme,...) obéissent elles-mêmes à ce principe, et en tirer les conséquences révolutionnaires dans un article resté célèbre : De l?électrodynamique des corps en mouvement.

C'est la naissance de la relativité restreinte :

  • Le principe de relativité de Galilée est conservé.
  • L'invariance des équations de Maxwell entraîne immédiatement la constance de la vitesse de la lumière c dans tous les référentiels galiléens : l'additivité des vitesses n'est plus vraie et la vitesse de la lumière est inatteignable (sauf pour la lumière).
  • Les mesures de longueur, d'intervalle de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), (et de vitesse) ne sont pas les mêmes suivant le référentiel de l'observateur : mesurer la longueur du wagon (Dans le jargon ferroviaire, on distingue habituellement deux grands types de véhicules remorqués. On parle de wagons pour les marchandises et de voitures pour les voyageurs. (même si certains...) donne des résultats différents suivant que l'on est dedans ou que l'on est immobile au sol (mais ce n'est pas le cas pour la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures d'un rectangle, l'autre...) du wagon, longueur perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil...) à la vitesse); de même pour l'écoulement du temps; le champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence...) devient magnétique et réciproquement.. Toutes ces transformations des systèmes de coordonnées du continuum espace-temps et du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électromagnétique sont formalisées par les transformations de Lorentz (paradoxalement mises au point par Lorentz et Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports...) pour défendre l'existence de l'éther).
  • La notion de temps absolu disparait: deux groupes de deux horloges parfaitement synchronisées immobiles dans un référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de...), et de deux horloges parfaitement synchronisées immobiles dans un autre référentiel galiléen présentent des défauts de synchronisation l'un par rapport à l'autre.
  • En écrivant l'expression de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au...) d'un corps de masse m de la manière la plus simple respectant le principe de relativité, Einstein a fait apparaître une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) de repos E = mc2 dont le sens n'éclatera qu'une trentaine d'années plus tard lorsque Lise Meitner aura compris l'origine de l'énergie de fission nucléaire (La fission nucléaire est le phénomène par lequel le noyau d'un atome lourd (noyau qui contient beaucoup de nucléons, tels les noyaux d'uranium et de plutonium) est divisé en plusieurs nucléides plus...).

De la relativité restreinte à la Relativité Générale

La théorie de la relativité restreinte (1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres : cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l?espace séparément, mais seulement comme un espace à quatre dimensions, l'espace-temps de Minkowski.

En effet, lors de mouvements à des vitesses non négligeables devant c (vitesse de la lumière dans le vide), temps et espace s?altèrent de façon liée, un peu comme deux coordonnées d?un point en géométrie analytique s?altèrent de façon liée lorsqu?on pivote les axes du repère.

Par exemple, en géométrie euclidienne habituelle la distance ?l entre deux points de coordonnées (x,y,z) et (x',y',z') vérifie (?l)²= (?x)²+(?y)²+(?z)² (avec ?x=x'-x, etc...), mais dans l'espace de Minkowski (Dans un espace de Minkowski, du nom de son inventeur, un point est reperé par quatre coordonnées (x,y,z,ct), les trois coordonnées d'espace et la coordonnée de temps.) deux points sont repérés par les coordonnées (t,x,y,z) et (t',x',y',z'), où t et t' sont les coordonnées de temps, et la "distance" ?l entre ces points vérifie (?l)²= (c.?t)²-(?x)²-(?y)²-(?z)². Ce calcul donne une "distance" nulle entre deux points du parcours d'un rayon lumineux, il donne aussi toutes les mesures de longueurs matérielles, des intervalles de temps, des vitesses en relativité restreinte qui succitent toujours l'étonnement.

L'espace-temps de Minkowski étant néanmoins de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) nulle (c'est-à-dire plat) on le qualifie d'espace pseudo euclidien[4].

Tel devait être, pour Einstein, l'espace sans gravitation (et sans accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est...) pour l'observateur). La gravitation Newtonienne, se propageant instantanément, n'était pas compatible avec. Einstein se mit en quête d'une nouvelle théorie de la gravitation.

  • Einstein admit l'égalité entre la masse gravifique et la masse inertielle comme hypothèse, la fameuse formule E=mc² autorisant alors à utiliser l'énergie totale d'un corps en lieu et place de sa masse. Ce sera fait grâce à l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus...) mathématique nommé tenseur énergie.
  • Expert en expériences par la pensée, il imagina un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) en rotation regardé par un expérimentateur placé en son centre et tournant avec: comme pour Huygens, il y a une force centrifuge au niveau du périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à...) qui est perçue comme une force gravitationnelle (car la masse gravifique et la masse inerte (Inerte est l'état de faire peu ou rien.) sont égales par hypothèse). De plus, en voulant rester dans le cadre de la relativité restreinte, il conclue que l'observateur doit constater la réduction du périmètre mais pas du rayon: ce n'est pas possible dans un espace plat. Conclusion: la gravitation oblige à utiliser une géométrie non-euclidienne.
  • Einstein imagina un expérimentateur enfermé dans un ascenseur (Un ascenseur est un dispositif mobile assurant le déplacement des personnes (et des objets) en hauteur sur des niveaux définis d'une construction.) aux parois opaques, subissant une montée à accélération constante : impossible pour cette personne de savoir s'il y a accélération constante ou bien attraction gravitationnelle (car la masse gravifique et la masse inerte sont égales par hypothèse). Conclusion: équivalence locale entre mouvement accéléré et gravitation, ce qui devait se retrouver dans les équations différentielles de la nouvelle théorie. C'est son principe d'équivalence.
  • Enfin, Einstein voulait trouver une expression des lois de la nature (à l'époque: dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), gravitation et électromagnétisme) qui soit inchangée quel que soit le référentiel (accéléré ou galiléen, etc...): c'est la relativité galiléenne généralisée à tous les repères (on nomme cela la covariance).
  • La grande difficulté étant de mettre ces principes sous forme mathématique, il en discuta avec David Hilbert qui, d'abord dubitatif, faillit lui ravir la vedette en trouvant la théorie en même temps que lui (voir: Controverse sur la paternité de la relativité).

La relativité générale ajouta à la relativité restreinte que la présence de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état...) pouvait déformer localement l?espace-temps lui-même (et non pas juste les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites géodésiques - c'est-à-dire intuitivement de longueur minimale - à travers l?espace-temps ont des propriétés de courbure dans l?espace et le temps.

Géodésiques
Géodésiques

Le calcul de la "distance" dans cet espace-temps courbé est plus compliqué qu'en relativité restreinte, en fait la formule de la "distance" est créée par la formule de la courbure, et vice-versa.

Les géodésiques sont les trajectoires, vérifiant le principe de moindre action, suivies par les particules test (c'est-à-dire dont l'influence sur le champ de gravitation dans lequel elles se déplacent est négligeable, ce qui est le cas par exemple d'un satellite artificiel (Un satellite artificiel est un appareil issu de l'activité de l'Homme et mis en orbite par lui. Ces termes désignent donc un objet humain envoyé dans...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) de la Terre ou bien d'un photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées...) passant à côté du Soleil mais pas d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.) orbitant autour d'une autre dans un système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre...) oscillant rapidement), elles ont donc une importance pratique très importante pour la compréhension intuitive d'un espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.).

Conséquences théoriques et observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...)

  • Einstein calcula immédiatement (1915) la déviation des positions apparentes des étoiles par le soleil: le 29 mai 1919, les mesures furent faites par Sir Arthur Eddington lors d?une éclipse (Une éclipse correspond à l'occultation d'une source de lumière par un objet physique. En astronomie, une éclipse se produit lorsqu'un objet (comme une planète ou un satellite naturel) occulte une source de lumière (comme...) solaire, et malgré quelques imprécisions de mesure, cela constitua la première confirmation de la théorie.
  • Cette théorie prévoit une déviation lente (La Lente est une rivière de la Toscane.) de l'ellipse de révolution de Mercure qui concorde (Le Concorde est un avion de transport supersonique construit par l’association de Sud-Aviation (devenue par la suite l’Aérospatiale après sa fusion avec Nord-Aviation et la SEREB) et de la British Aircraft...) parfaitement avec les observations.
  • La gravitation (forte) d'une planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa...) doit y contracter les longueurs observées depuis une position lointaine. Cela n'a pu être observé directement à ce jour.
  • La gravitation doit ralentir le temps, donc modifier les fréquences et les longueurs d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter...) des rayonnements émis: on peut citer par exemple une expérience menée par Pound et Rebka à l'université Harvard (L’université Harvard (Harvard University), ou plus simplement Harvard, est une université privée américaine située à...) (1959), qui a permis de détecter un changement de 22,5 mètres de la longueur d'onde d?une source monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée que d'une fréquence ou, par extension de sens, d'une bande très étroite de fréquence au niveau de son spectre.) de Cobalt.
  • Schwarzschild, en trouvant en 1916 une solution exacte des équations de la gravitation, a montré qu'il pouvait exister des conditions où un phénomène de trou noir (En astrophysique, un trou noir est un objet massif dont le champ gravitationnel est si intense qu’il empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s’en...) apparaissait. L'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés...) observe des phénomènes similaires.
  • Dans certaines conditions, des ondes gravitationnelles, discrètes, doivent se propager dans l'espace. L'expérience franco-italienne Virgo cherche à en détecter.
  • Autre conséquence pratique de la relativité générale : les horloges atomiques en orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) autour de la Terre du système de positionnement (Les systèmes de géopositionnement satellitaires sont des ensembles composés d’une constellation de satellites artificiels en orbite autour de la Terre et de récepteurs. Le récepteur, qui peut...) GPS (Global Positioning System) nécessitent une correction pour le ralentissement (Le signal de ralentissement (de type SNCF) annonce une aiguille (ou plusieurs) en position déviée qui ne peut être franchie à la vitesse normale de la ligne.) dû à la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) terrestre.

Pour plus de détails: tests expérimentaux de la relativité générale.

  • Pour résumer cette théorie, Einstein amusa un public de journalistes : "Imaginez que vous regardez loin, très loin devant vous, et que vous avez une très bonne vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), une très très bonne vue, alors vous arriverez à voir... votre dos (En anatomie, chez les animaux vertébrés parmi lesquels les humains, le dos est la partie du corps consistant en les vertèbres et les côtes. Les dorsaux étaient les muscles les plus...)."

Résumé de la théorie

Référentiels

L?idée centrale de la relativité est que l?on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l?accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel, défini en un point donné. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) mouvement est alors décrit relativement à ce référentiel. La relativité restreinte postule que ce référentiel peut être étendu indéfiniment dans l?espace et dans le temps. Elle ne traite que le cas des référentiels dits inertiels, autrement dits animés d?une vitesse constante et sans changement de direction. La relativité générale, elle, traite les référentiels accélérés (au sens vectoriel) ou non. En relativité générale, il est admis que l?on ne peut définir un référentiel local avec une précision donnée que sur une période finie et dans une région finie de l?espace (de la même manière, à cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte sans distorsion que sur une région limitée). En relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local inertiel. En particulier, la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) de particules libres comme des photons est une ligne droite dans un référentiel local inertiel. Dès que ces lignes sont étendues au-delà de ce référentiel local, elles n?apparaissent plus droites, mais sont connues sous le nom de géodésiques. La première loi de Newton doit être remplacée par la loi du mouvement géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer...).

La trajectoire d?un photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette...) est par exemple une géodésique de longueur? nulle : la partie positive du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) de cette longueur (x²+y²+z²) est en effet égale et opposée à sa partie négative (-c²t²)

Revenons sur la notion de référentiel inertiel. Nous distinguons les référentiels inertiels, dans lesquels un corps libre de toute action extérieure maintient un mouvement uniforme, des référentiels non inertiels, dans lesquels un corps libre subit une accélération dont l?origine est due à l?accélération du référentiel lui-même. Un exemple en est la force centrifuge que l?on ressent lorsqu?un véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un point à un autre.) qui nous transporte effectue un rapide changement de direction, un autre exemple en est la force dite de Coriolis, manifestation de la rotation terrestre. La force centrifuge est fictive et n'est qu'une manifestation de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à vitesse...) (premier principe de Newton).

Principe d?équivalence

Parce qu?il n?a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d?inertie (résistance d?un corps à l?accélération) et la masse pesante (qui détermine son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la résultante...) dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu?il n?y a pas lieu de distinguer localement un mouvement de chute libre (sans rotation) dans un champ gravitationnel, d?un mouvement uniformément accéléré en l?absence de champ gravitationnel. En clair, on n?observe pas localement de gravitation dans un référentiel en chute libre, en autant qu'il soit suffisamment petit, par rapport aux moyens de détection, pour qu'on ne puisse pas y détecter d'accélération. Autour de la Terre, la chute libre peut être par exemple une chute vers le sol ou bien le mouvement d?un satellite (Satellite peut faire référence à :).

Ce résultat n?est que local, c?est-à-dire valable pour un espace restreint i.e. 'petit'. Dans un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Il s?agit juste d?unifier ce qui est semblable dans les phénomènes afin de les traiter par un mécanisme unique.

Cette équivalence est utilisée dans l?entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique (Le vol parabolique est un moyen d'être en impesanteur pendant une vingtaine de secondes. Les inconvénients majeurs sont la faible durée, la faible qualité (0,01 g...) où la force centrifuge contrebalance quelques minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain...) les forces de gravité, simulant ainsi la " chute libre " d?un corps satellisé (chute libre qui dure indéfiniment, puisque circulaire).

Dans cette perspective, la gravitation observée à la surface terrestre est la force observée dans un référentiel défini en un point de la surface terrestre qui n?est pas libre, mais sur lequel agit toute la roche (La roche, du latin populaire rocca, désigne tout matériau constitutif de l'écorce terrestre. Tout matériau entrant dans la composition du sous-sol est formé par un assemblage de minéraux, comportant...) qui constitue le noyau, et cette force est de nature identique à la force centrifuge qui serait ressentie dans un vaisseau spatial suffisamment éloigné de la Terre pour ne plus guère subir son attraction, et effectuant une man?uvre de changement de direction. Ou encore, le sol empêche un objet de faire sa chute libre en exerçant une force vers le haut (appelée " réaction du sol ") ; en mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein, elle est souvent qualifiée de mécanique classique.), on a plutôt tendance à considérer que la chute libre est une accélération vers le bas, alors qu?ici, la chute libre est l?état de référence et c?est l?état de repos par rapport au sol qui est une accélération vers le haut.

Le principe d?équivalence revient à considérer, pour résumer, que la masse inertielle et la masse gravitationnelle représentent deux choses distinctes mais qui ont exactement la même valeur.

Tenseur d?énergie et courbure de l?espace

Mathématiquement parlant, Einstein modélise l?espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur impulsion-énergie en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) de matière et d?énergie (étant entendu que matière et énergie sont équivalentes).

Cette équation est à la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l?espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l?espace (les deux étant équivalents). La meilleure façon de se représenter la géométrie de l?espace-temps est d?imaginer que celui-ci se comporte comme une surface élastique creusée localement par la présence d?un objet massif (Le mot massif peut être employé comme :), une boule par exemple.

Le chemin le plus court entre deux points - ce qui reste la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la " ligne droite " - ne sera alors pas le même qu?en l?absence de déformation : si la trajectoire passe trop près de la bille, en effet, le parcours est " allongé " par le creusement de la feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À...) de caoutchouc. Remarquons que nous n?avons à prendre en compte dans cette analogie ni le temps ni la gravité, ce qui est normal puisque c?est eux que nous désirons décrire en sortie.

En transposant cette image dans l?espace physique, la présence d?un corps massif affectera la courbure de l?espace, ce qui semblera vu de l?extérieur altérer la course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) d?un rayon lumineux ou d?un objet en mouvement qui passe dans son voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la...). Pour reprendre une expression célèbre due à John Archibald Wheeler : " La masse et l?énergie disent à l?espace-temps comment se courber, et la courbure de l?espace-temps dit à la matière comment se comporter ".

Cela a pour conséquence en astronomie l?effet de mirage gravitationnel (Les lentilles gravitationnelles déforment l'image que l'on reçoit d'un objet astronomique comme une galaxie.) (parfois nommé lentille gravitationnelle à tort, car n?ayant les propriétés ni d?une lentille convergente - ce que l?on voit immédiatement si l?on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) plus de quatre rayons ! - ni celles d?une lentille divergente).

Cette notion de courbure de l?espace explique la courbure des rayons lumineux au voisinage d?un astre massif, qui ne pouvait être due à la loi de Newton si les photons n?ont pas de masse.

L?équation du champ d?Einstein n?est pas une solution unique et il y a de la place pour d?autres modèles, s?ils sont en accord avec les observations.

La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à réaliser l?unification (Le concept d'unification est une notion centrale de la logique des prédicats ainsi que d'autres systèmes de logique et est sans doute ce qui distingue le plus Prolog des autres langages de programmation.) entre la relativité générale et la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette...), et le remplacement de l?équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale.

Peu de physiciens doutent qu?une telle Théorie de Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d?application, de la même manière que cette dernière permet de prédire les lois de la gravitation de Newton dans les limites des faibles vitesses (dites vitesses non relativistes).

L?équation du champ contient un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) " supplémentaire " appelé la constante cosmologique ? qui a été introduite à l?origine par Einstein pour qu?un univers statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) (c?est-à-dire un univers qui n?est ni en expansion, ni en contraction) soit solution de son équation.

Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : l?univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations de l?astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) Edwin Hubble (Le télescope spatial Hubble (en anglais, Hubble Space Telescope ou HST) est un télescope en orbite à environ 600 kilomètres d'altitude, il effectue un tour complet de la Terre toutes les 100 minutes. Il est nommé en l'honneur de l'astronome...) dix ans plus tard démontrèrent que l?Univers était en fait en expansion. Donc ? fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu?une valeur non nulle de ? est nécessaire pour expliquer certaines observations.

L?étude des solutions de l'équation d'Einstein (Cf. paragraphe suivant) est une branche de la Physique nommée cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.). Elle permet notamment d?expliquer l?excès de l?avance du périhélie (Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché du Soleil (grec :...) de Mercure, de prédire l?existence des trous noirs, des ondes gravitationnelles et d?étudier les différents scénarios d?évolution de l?Univers. Notons que l?astrophysicien bien connu Stephen Hawking (Stephen W. Hawking, CH, CBE, FRS, FRSA, est un physicien théoricien et cosmologiste anglais, né le 8 janvier 1942 à Oxford. Hawking a été...) a démontré qu?un univers comme le nôtre comportait nécessairement des singularités gravitationnelles.

Plus récemment (octobre 2004), des mesures effectuées par laser (Un laser est un appareil émettant de la lumière (rayonnement électromagnétique) amplifiée par émission stimulée. Le terme laser provient de...) avec les satellites LAGEOS ont montré que le champ gravitationnel de la Terre lui-même engendre des distorsions de positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre (produit, marque ou enseigne) une position crédible, différente et attractive au sein d’un marché et dans...) de la Lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance moyenne séparant la...) de deux mètres par an comparativement à ce qui serait prévu par les seules lois de Newton. Ce chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) est en accord à 1% près avec ce qui est prévu par la Relativité générale.

Aspects mathématiques

Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation

Mathématiquement, la force de gravitation de Newton dérive d'une énergie potentielle. Le potentiel de gravitation associé à cette énergie potentielle obéit à l'équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi...), qui n'est pas covariante sous transformation de Lorentz. La théorie de la gravitation de Newton n'est donc pas compatible avec le principe fondamental de relativité restreinte énoncé par Einstein en 1905.

Ce principe étant supposé avoir une validité universelle, Einstein va chercher une théorie de la gravitation qui soit compatible avec lui. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.

Modélisation de l'espace-temps

Notre perception intuitive nous indique que l'espace-temps apparait régulier et continu, c'est-à-dire " sans trous ". Mathématiquement, ces propriétés vont se traduire par le fait que l'espace-temps sera modélisé par une variété différentielle lisse[5] à 4 dimensions M4, c'est-à-dire un espace à 4 dimensions pour lequel le voisinage de chaque point ressemble localement à un espace euclidien à 4 dimensions.

Géométrie de l'espace-temps

NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW [6]

Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.

Tenseur métrique

La variété différentielle[7] M est munie d'une métrique lorentzienne définie par un tenseur métrique g, et constitue ainsi une variété lorentzienne, qui constitue un cas particulier de variété pseudo-riemannienne (le qualificatif " lorentzienne " sera précisé plus loin dans le texte ; cf. métrique lorentzienne).

Soit un système de coordonnées quelconque x? autour d'un point P, et soient {\mathbf e}_{\mu}(x) une base locale de TxM, espace tangent à la variété au point x \in M. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) tangent \mathbf w \in T_xM s'écrit alors comme la combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire :

\mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \  \mathbf{e}_{\mu}

Les w? sont appelée les composantes contravariantes du vecteur w. Le tenseur métrique \mathbf g est la forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: :...) symétrique :

\mathbf g \ = \ g_{\mu \nu}(x) \ dx^{\mu} \ \otimes \ d x^{\nu}

dx? désigne la base duale de {\mathbf e}_{\mu}(x) dans l'espace cotangent T_x^*M, c'est-à-dire la forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée...) sur TxM telle que :

dx^{\nu}({\mathbf e}_{\mu})\ = \ \delta_{\mu}^\nu

Les composantes g??(x) du tenseur métrique varient de manière continue dans l'espace-temps[8].

Le tenseur métrique peut ainsi être représenté par une matrice 4x4 réelle symétrique :

g_{\mu \nu} \ = \ g_{\nu \mu}

Or, toute matrice 4x4 réelle possède a priori 4 x 4 = 16 éléments indépendants. La condition de symétrie réduit ce nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) à 10 : il reste en effet les 4 éléments diagonaux, auxquels il faut ajouter (16 - 4)/2 = 6 éléments non diagonaux. Le tenseur g?? possède donc seulement 10 composantes indépendantes.

Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit,...)

Le tenseur métrique définit pour chaque point x \in M de la variété un pseudo-produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée ; cf. métrique lorentzienne) dans l'espace TxM euclidien tangent à M au point x. Si \mathbf u et \mathbf v sont deux vecteurs de TxM, leur produit scalaire s'écrit :

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu}

Remarque : w? désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}

Distance élémentaire

Considérons le vecteur déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens ...) élémentaire d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \ \mathbf e_{\mu} entre le point P et un point infiniment voisin : | \epsilon^{\mu} | \ll 1. Sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le...) infinitésimale invariante est le nombre réel noté ds2, et on a  :

ds^2 \ = \ g_{\mu \nu}(x) \ \epsilon^{\mu} \ \epsilon^{\nu}

Si l'on note " à la physicienne " ?? = dx? les composantes du vecteur déplacement élémentaire, la longueur infinitésimale s'écrit formellement :

ds^2 \ = \ g_{\mu \nu}(x) \ dx^{\mu} \ d x^{\nu}

Attention : dans cette formule, dx? représente un nombre réel qui s'interprète physiquement comme la " variation infinitésimale " de la coordonnée x?, et non une forme différentielle !

Métrique lorentzienne

Précisons maintenant l'expression lorentzienne, qui signifie que le tenseur métrique est de signature (1,3). Le principe d'équivalence assure qu'on peut effacer localement un champ de gravitation en prenant un système de coordonnées localement inertiel bien choisi. Dans un tel système de coordonnées localement inertiel X? autour du point P précédent, l'invariant ds2 s'écrit :

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta} \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta} \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \,  dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2

??? est la métrique plate de Minkowski. On adopte ici la convention de signe MTW [6] :

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -, \, +, \, +, \, + \, )

On utilisera ici les conventions usuelles suivantes :

  • un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps.
  • un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, le 4-vecteur position s'écrit dans un système de coordonnées localement inertiel :

X^{\alpha} \ = \  \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\                   X^{3} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix}                   c \, T \\ X \\ Y \\ Z  \end{matrix} \right)

Le caractère lorentzien de la variété M assure ainsi que l'espace euclidien tangent à M possède en chaque point un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) ayant 3 valeurs propres strictement positives (associées à l'espace) et une valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte...) strictement négative (associée au temps). En particulier, l'intervalle élémentaire de temps propre séparant deux évènements vérifie :

d \tau^2 \ = \ - \ \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0

Notions générales de connexion & dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique)...) covariante

D'une manière générale, on appelle connexion \nabla un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) qui associe à un champ de vecteurs \mathbf V du fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace appelé base, telle que la préimage de chaque point soit...) tangent TM un champ d'endomorphismes \nabla \mathbf V de ce fibré. Si {\mathbf w} \in T_xM est un vecteur tangent au point x \in M, on note usuellement :

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w)

On dit que \nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V est la dérivée covariante du vecteur \mathbf V dans la direction {\mathbf w}. On impose de plus à \nabla \mathbf V de vérifier la condition supplémentaire que, pour toute fonction f, on ait :

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

La dérivée covariante vérifie les deux propriétés de linéarité suivantes :

  • linéarité en w, c'est-à-dire que, quelque soient les champs de vecteurs w et u et les nombres réels a et b, on ait :
\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V
  • linéarité en V, c'est-à-dire que, quelque soient les champs de vecteurs X et Y et les nombres réels a et b, on ait :
\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y

Une fois que la dérivée covariante est définie pour les champs de vecteurs, elle peut être étendue aux champs tensoriels en utilisant la règle de Leibniz : si \mathbf T et \mathbf S sont deux tenseurs quelconques, on impose que :

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\mathbf w} \mathbf S)

La dérivée covariante d'un champ de tenseur le long d'un vecteur w est à nouveau un champ de tenseur du même type.

Connexion associée à la métrique

On définit la connexion de Levi-Civita (lien) comme étant l'unique connexion vérifiant en plus des conditions précédentes que, pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de TM, on ait :

  • \nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) (parallélisme).
  • \nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y], où [\mathbf X,\mathbf Y] est le crochet de Lie de X et Y (torsion nulle).

Description en coordonnées

La dérivée covariante d'un vecteur est un vecteur, et peut ainsi être exprimée comme une combinaison linéaire de tous les vecteurs de base :

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_\rho

?? représente la composante du vecteur dérivée covariante dans la direction \mathbf e_\rho (cette composante dépend du vecteur w choisi).

Pour décrire la dérivée covariante il suffit de décrire celle de chacun des vecteurs de base \mathbf e_\nu le long de la direction \mathbf e_\mu. On définit alors les symboles de Christoffel ???? dépendants de 3 indices[9] par :

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu}} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

La connexion de Levi-Civita est entièrement caractérisée par ces symboles de Christoffel. Appliquons en effet la formule générale :

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

sous la forme :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu

Sachant que dV^\nu(\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu, on obtient :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\nu \ \mathbf e_\nu

Le premier terme de cette formule décrit la "déformation" du système de coordonnées par rapport à la dérivée covariante, et le second les changements de coordonnées du vecteur V. Les indices sommés étant muets, on peut réécrire cette formule sous la forme :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho}  \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \right] \ \mathbf e_\nu

On en déduit la formule importante pour les composantes :

\nabla_{\mu}  \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \,  \nabla_{\mu}  \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho}

En utilisant la formule de Leibniz (Plusieurs formules portent le nom de Formule de Leibniz), on démontrerait de même que :

\nabla_{\mu}  \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho} \ V_{\rho}

Pour calculer explicitement ces composantes, les expressions des symboles de Christoffel doivent être déterminées à partir de la métrique. On les obtient aisément en écrivant les conditions suivantes :

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0

Le calcul explicite de cette dérivée covariante conduit à :

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho  g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

g^{\mu \nu}\ sont les composantes du tenseur métrique inverse, définies par les équations :

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Les symboles de Christoffel ont une symétrie par rapport aux indices du bas : \Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\

Remarque : on définit parfois aussi les symboles suivants :

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho  g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

tels que :

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \  g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Tenseur de courbure de Riemann

Le tenseur de courbure de Riemann R est le tenseur d'ordre 4 défini pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de M par :

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z)  \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \, (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z

Ses composantes s'écrivent explicitement en termes de la métrique :

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu  \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ + \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu  \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ -  \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)

Les symétries de ce tenseur sont :

R_{ \mu \nu \rho \sigma }  \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\
R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }

Il vérifie de plus la relation :

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0

Tenseur de courbure de Ricci

Le tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée...) est le tenseur d'ordre 2 défini par contraction du tenseur de courbure de Riemann :

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu}

Ses composantes s'écrivent explicitement en fonction de la métrique :

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \rho} \ + \ \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma} {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma}

Ce tenseur est symétrique : R_{\mu \nu} \ = \ R_{\nu \mu}\.

Courbure scalaire

La courbure scalaire est l'invariant défini par contraction du tenseur de Ricci avec la métrique :

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}

Équation d'Einstein

L?équation complète du champ gravitationnel, qu'on appelle l'équation d'Einstein, s?écrit :

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R  \ - \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}

? est la constante cosmologique, c est la vitesse de la lumière dans le vide, G est la constante gravitationnelle qui apparaît aussi dans la loi de la gravitation newtonienne, et T?? le tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur symétrique g?? possédant 10 composantes indépendantes, l'équation tensorielle d'Einstein est équivalente à un système de 10 équations scalaires indépendantes. Ce système aux dérivées partielles non linéaires couplées est le plus souvent très difficile à étudier.

Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

T_{\mu \nu} \ = \  \left( \begin{matrix}                    T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\                    T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\                    T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\                    T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33}        \end{matrix} \right)

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

  • T00 est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.
  • T10, T20, T30 sont les densités de moments.
  • T01, T02, T03 sont les flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans...) d'énergie.
  • La sous-matrice (Une sous-matrice est une matrice obtenue à partir d'une matrice en ne gardant que certaines lignes ou colonnes.) 3 x 3 des composantes spatiale-spatiale :
T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix}                    T_{11} & T_{12} & T_{13} \\                    T_{21} & T_{22} & T_{23} \\                    T_{31} & T_{32} & T_{33}        \end{matrix} \right)

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle est actuellement étendue à des écoulements...), sa diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...) correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Pour un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides...) au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou...) diag(?c^2,p,p,p)? est la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une...) et p la pression hydrostatique.

Solutions particulières de l'équation d'Einstein

  • La Métrique de Schwarzschild (En astrophysique, et plus précisement dans le cadre de la Relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une métrique permettant de...)

Dans le vide et pour une constante cosmologique identiquement nulle, l'équation d'Einstein se réduit à :

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \,  g_{\mu \nu} \, R \ = \ 0

Dans le cas particulier d'un champ central engendré par un corps à symétrie sphérique, la métrique de Schwarzschild (16 janvier 1916) fournit une solution exacte à cette équation (qui n'est valide qu'à l'extérieur du corps) :

ds^2 \ = \ - \ \left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)c^2dt^2 \ + \ \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{rc^2}}\ + \ r^2 \ d\Omega^2

où M la masse totale du corps, et d?2 le carré de la distance élémentaire sur la sphère euclidienne de rayon unité en coordonnées sphériques :

d\Omega^2 \ =  d\theta^2 \ + \ \sin^2\theta  \ d\varphi^2
  • La métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (En cosmologie, la métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (souvent abrégée FLRW) est une métrique permettant de décrire un univers localement...), où l'Univers est localement homogène et isotrope.
  • L'espace de Sitter correspondant en physique à un Univers vide avec constante cosmologique positive.
  • L'espace anti de Sitter correspondant en physique à un Univers vide avec constante cosmologique négative.

Problème à deux corps & problème du mouvement

En relativité générale, le problème à deux corps n'est pas exactement soluble ; seul le " problème à un corps " l'est. Cependant, on peut en général trouver une solution approchée pour ce qu'on appelle parfois le " problème du mouvement ".

Einstein & le problème du mouvement (1915)

Dans son manuscrit de la fin 1915, Einstein commence par calculer le champ de gravitation à symétrie sphérique crée par un astre de masse M lorsqu'on se place loin du centre de l'astre, le champ étant alors de faible intensité. Einstein explore ensuite le problème du mouvement d'une " particule test " de masse m \ll M dans ce champ faible. La particule test est ainsi supposée ne pas modifier le champ de gravitation créé par l'astre massif.

Le principe d'équivalence avait par ailleurs conduit Einstein à postuler les équations du mouvement de la particule-test comme étant les équations dont les solutions sont certaines géodésiques de l'espace-temps. Mathématiquement, les géodésiques rendent la pseudo-distance (On appelle "pseudo-distance" une mesure indirecte de distance par la mesure de l'instant de réception d'un signal daté à l'émission, lorsque les horloges de l'émetteur et du récepteur ne sont pas synchronisées :) extrêmale :

\delta \  \int ds \ \ = \ 0

Dans un système de coordonnées localement inertielles X?, ces équations du mouvement s'écrivent en composantes :

\frac{d^2 X^{\alpha}}{d\tau^2} \ = \ 0

? est le temps propre de la particule test (supposée massive). Dans un système de coordonnées quelconques x?, ces équations du mouvement prennent la forme suivante  :

\frac{d^2 x^{\mu}}{d\tau^2} \ + \ \Gamma^{\mu}_{~ \rho  \sigma} \ \frac{d x^{\rho}}{d\tau} \ \frac{d x^{\sigma}}{d\tau} \ = \ 0

Les solutions de ces équations définissent les géodésiques du genre temps de l'espace-temps.

Einstein & le problème du mouvement (1938)

Dans son travail de 1938 réalisé en collaboration avec Infeld et Hoffmann, Einstein [10] va démontrer que les équations du mouvement de la particule-test :

\delta \  \int ds \ \ = \ 0

dérivent des équations du champ. Il n'est donc pas nécessaire de les introduire par un postulat supplémentaire.

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