Espace des phases - Définition

Courbes intégrales pour l'équation du pendule simple dans l'espace des phases (y,y')

L'espace des phases est un espace abstrait dont les coordonnées sont les variables dynamiques du système étudié.

Utilité d'un espace des phases

Un exemple très schématique permet de fixer les idées.

Prenons par exemple un jeu vidéo simulant la pose sur la Lune d'un module d'exploration lunaire (Lunar Exploration Module, LEM) : le joueur peut activer la propulsion pour ralentir la chute, et doit donc doser entre la gravité, qui fait descendre le module, et la propulsion (si celle-ci est trop forte, le module remonte). Si l'on ne voit sur son écran que la hauteur de l'engin par rapport au sol et que l'on estime au jugé sa vitesse verticale, cette opération est longue et difficile.

Si en revanche on lui associe un petit diagramme matérialisant la situation par un simple point dans un système de coordonnées à deux dimensions (altitude, vitesse), le pilotage en est considérablement facilité : l'objectif est matérialisé par un point fixe à atteindre : le point (0,0) " au niveau du sol et sans vitesse ", ce qui constitue bien la définition de l'aterrissage. Le problème en devient si simple qu'il peut être automatisé.

Or la vitesse n'est que la dérivée de l'autre coordonnée, la position : c'est un exemple de construction et d'utilisation d'un espace des phases très simple, et d'en tirer immédiatement profit.

Justifications de l'utilisation d'un espace des phases

Les coordonnées utilisées dans cet espace sont celle des variables canoniques de la mécanique hamiltonienne. L'étude de la mécanique dans cet espace permet d'éliminer la contrainte temporelle dans l'étude de l'évolution d'un système. Cela se montre particulièrement utile quand on compare par exemple la dépendance des solutions d'une équation différentielle à ses conditions initiales.

Espace des phases pour un mobile ponctuel

Les variables dynamiques sont au nombre de 6 : 3 variables de position (x, y, z) et trois variables de quantité de mouvement (P_x, P_y, P_z).

D'après les équations de la mécanique, l'évolution d'un système est entièrement déterminée par la donnée initiale de la position (x, y, z) et de la vitesse (v_x, v_y, v_z) — la masse étant connue, la quantité de mouvement est proportionnelle à vitesse.

Voir l'article Principe fondamental de la dynamique.

Cas de l'espace du vecteur d'onde

Une onde peut se caractériser par son vecteur d'onde noté , qui est le vecteur :

• perpendiculaire au front d'onde ;
• orienté dans le sens de propagation de l'onde ;
• dont la norme est l'inverse de la longueur d'onde (voir aussi l'article Nombre d'onde).

Certaines personnes préfèrent définir la norme du vecteur d'onde comme étant l'inverse de la longueur d'onde multiplié par deux fois le nombre pi (ceci change la forme des équations, le terme 2π apparaissant ou pas dans l'équation de l'onde).

Voir l'article Espace réciproque.