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Symbole de Kronecker

En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre ? (delta minuscule) de l'alphabet grec, et est considéré comme une convention d'écriture plutôt que comme une fonction.

\delta_{ij} = \delta_i^j = \delta^{ij} = \begin{cases}  1 & \mbox{si } i=j  \\  0 & \mbox{si } i \ne j \end{cases}

Ou, en notation tensorielle :

\delta_i^j=\delta_i \cdot \delta^j

?i et ?j sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Ce symbole a été nommé en l'honneur du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) Léopold Kronecker (1823 - 1891).

Il est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...). Par exemple en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des...), la matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des...) d'ordre 3 peut s'écrire :

(\delta_{ij})_{(i,j)\in\{1,2,3\}^2} = \begin{pmatrix} 1 & 0  & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ...) et sommations

Lors de sommation, le symbole de Kronecker provoque de spectaculaires simplifications :

\sum_{k=1}^n a_k\delta_{k,i} = a_i
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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