Trigonométrie de Wildberger - Définition et Explications

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La Trigonométrie de Wildberger (dite aussi trigonométrie rationnelle parce qu'elle n'a pas recours dans sa définion à des nombres irrationnels) constitue une réécriture de la trigonométrie exposée au grand public en septembre 2005 par Norman Wildberger, professeur associé en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) à l'université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la...) de Nouvelle Galles du Sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) à Sydney. Elle se distingue de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) traditionnelle en évitant non seulement l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des fonctions trigonométriques classiques, mais même l'usage de nombres transcendants comme π dans l'écriture des formules.

Historique

On pratiquait depuis un quart de siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) la trigonométrie entière utilisée dès les premiers jeux graphiques sur ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...), afin d'éviter le recours aux fonctions flottantes dont le calcul était lent (jusqu'au 80486, les processeur (Le processeur, ou CPU (de l'anglais Central Processing Unit, « Unité centrale de...) de la gamme i386 n'avaient pas de coprocesseur arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) en standard). Cette trigonométrie simplifiée dont la résolution ne dépassait ni ne voulait dépasser la résolution du pixel (Le pixel, souvent abrégé px, est une unité de surface permettant de mesurer une...) présentait le double mérite :

  • de sa simplicité de mise en œuvre (par utilisation intensive à la fois de tables et des formules du style sin(a + b) = sina*cosb + sinb*cosa, etc.
  • d'une vitesse (On distingue :) de calcul alors largement supérieure à celle du flottant

Toutefois, comme l'héliocentrisme (L'héliocentrisme est une théorie physique qui place le Soleil au centre de l'Univers, ou...) de Copernic lors de son introduction, ce procédé n'était vu au mieux que comme une astuce, un moyen ad hoc de simplifier un problème dans un cadre précis. Il n'avait en aucune façon été tenté de réécrire toute la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) dans ce cadre.

Le retournement de Wildberger

Wildberger retourne le problème en partant au contraire des méthodes d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) et cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) pris cette fois-ci comme axiomes de théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...), et développe une trigonométrie en nombres rationnels, en présentant cette construction comme plus satisfaisante pour l'esprit que l'introduction "classique". Celle-ci évite d'introduire la notion de nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...), abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la...) certes intéressante en soi, mais qui n'a pas de signification ni de besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est...) d'être considérée dans le domaine du calcul purement numérique : il est toujours possible de pousser une précision aussi loin qu'on le désire en employant dans son système des rationnels comme tels sans avoir à postuler l'existence de réels à aucun moment du calcul.

Cette approche n'est pas sans rappeler historiquement la reprise de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) uniquement par le compas, et sans avoir à utiliser la règle dans les constructions (Mohr et Mascheroni). Selon Wildberger, la construction de la trigonométrie est nettement simplifiée par cette méthode, et il est toujours possible de montrer par la suite que les axiomes choisis correspondent bien à ce qui est observé dans le monde (Le mot monde peut désigner :) euclidien.

Quadrance

Afin d'éviter le recours à la notion de racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...), c'est la notion de quadrance (carré de la distance) qui est utilisée dans cette trigonométrie. L'inégalité triangulaire restant respectée, cette modification légère n'a pas d'incidence sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...).

Ouverture (spread)

Pour des raisons similaires, et avec les mêmes effets, les angles sont remplacés par des "ouvertures" (spread) qui présentent l'intérêt elles aussi de se calculer de façon simple en n'utilisant que l'arithmétique des nombres rationnels.

Restriction actuelle

Wildberger n'a pour le moment achevé cette théorie que pour la géométrie plane.

Positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre...)

La démarche de Wildberger s'apparente aux méthodes constructivistes à la mode depuis quelques années en mathématiques, et elles-mêmes influencées par les paradigmes de l'algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées...).

Sur un plan épistémologique et plus généralement philosophique, on y retrouve aussi la traditionnelle complémentarité d'approche entre

  • l'algorithmique des Babyloniens (où l'important est le résultat du calcul)

et

  • l'abstraction générale plus typique des mathématiques et de la pensée grecques.

Applications

Bien que des applications de l'ordre de la Conception assistée par ordinateur, de la cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le...) ou a fortiori des jeux vidéo (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la...) puissent sembler triviales, ces domaines ont fortement à gagner d'avancées dans le domaine de la trigonométrie en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) rationnels.

  • pour résoudre de façon unifiée (c’est-à-dire sans bricolages ad hoc, et donc de façon aisément portable) les questions de grandes variations d'échelle qui limitent la plage (La Plage est un film anglo-américain réalisé par Danny Boyle en 2000 et adapté...) de travail de logiciels comme CATIA : cette géométrie s'abstrait en effet des considérations de granulation introduites
    • par l'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) flottante
    • par les différences considérables de résolution des unités de sortie
    • par les fonctions approchées (polynômes) de calcul des irrationnels : des calculs sur les rationnels se font de façon exacte jusqu'à l'arrondi (Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre obtenue, à partir de son...) ou l'antialiasing final au moment de l'affichage (L' affichage désigne l'application d'une surface de papier script dans un lieu public(et non du...), ce calcul pouvant être reporté sur une carte graphique (Une carte graphique ou carte vidéo (anciennement par abus de langage une carte VGA), ou encore...) conçue en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...)
  • afin de gagner largement en vitesse sur les temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) de calcul

Cela ne représente toutefois qu'un simple intérêt anecdotique de la théorie, comme a pu l'être autrefois la synthèse d'image pour les fractales : intéressant pour la rendre visible, mais ne lui étant pas directement nécessaire.

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