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Polynôme d'Hermite

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui ont été nommés ainsi en l'honneur de Charles Hermite. Ils sont définis comme suit :

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} (forme dite probabiliste)
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} (forme dite physique)

Les deux définitions ne sont pas tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait équivalentes ; les polynômes d'une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) sont en " compression " ou en " expansion " par rapport à l'autre définition.

On peut effectuer le passage d'une forme à l'autre grâce à la relation suivante: H_n^{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^{proba}(\sqrt{2}\,x)\,\!.

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants (forme "probabiliste") :

H_0(x)=1~
H_1(x)=x~
H_2(x)=x^2-1~
H_3(x)=x^3-3x~
H_4(x)=x^4-6x^2+3~
H_5(x)=x^5-10x^3+15x~
H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15~

on peut en réalité démontrer que le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et...) x^{p-2}~ de {H_p}~ vaut -p(p-1)/4 et que bien sûr le coefficient x^{p-1}~ de {H_p}~ est toujours nul.

Sous leur forme "physique", les premiers polynômes sont:

H_0(x)=1~
H_1(x)=2x~
H_2(x)=4x^2-2~
H_3(x)=8x^3-12x~
H_4(x)=16x^4-48x^2+12~
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x~
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120~

Orthogonalité

La n-ième fonction de la suite est un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils...) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure

e^{-x^2/2}\,dx,

c'est-à-dire que :

\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}

où ?n m est le symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec, et est considéré comme...), qui vaut 1 quand n = m et 0 sinon. Ces fonctions forment une base orthogonale d'un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace...) où les fonctions satisfont la propriété suivante :

\int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)\right|^2\,e^{-x^2/2}\,dx< +\infty,

dans laquelle le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe...) est donné par l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée...)

\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,dx.

Diverses propriétés

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) différentielle suivante :

H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0.\,

On a aussi la suite récurrente suivante :

H_{n+1}(x)- xH_{n}=-(n(n-1)/4)H_{n-2}(x).\,

Les polynômes satisfont la propriété

H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,

que l'on peut écrire ainsi

H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k H_{n-k}(y)
Polynômes d'Hermite
Polynômes d'Hermite
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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