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Loi de composition

En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C?est donc une application d?un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) G, avec G égal à E ou à F.

Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l?ensemble d?une structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition,...). Les conditions vérifiées par les lois s?appellent les axiomes de la structure de E.

Notion de loi

Une loi (de composition) * : E × F ? G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x, y ) de E × F, un élément de G noté habituellement " x * y " (au lieu de la notation fonctionnelle " * ( x, y ) ") et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y.

x et y sont parfois qualifiés d?opérandes, car une loi n?est qu?un cas particulier d?opération.

G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :

  • si E = F = G, la loi * : E × E ? E est appelée loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des...) dans E;
  • si E ? F et G = F, la loi * : E × F ? F est appelée loi de composition externe (En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est...) à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs;
  • si E ? F et G = E, la loi * : E × F ? E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.

Remarque

Il existe plusieurs notations pour les lois :

  • la plus courante est la notation infixe; elle est plus " parlante", mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l?ordre d?exécution des opérations, s?il y en a plusieurs :
x * y \,
  • une variante en est la notation par juxtaposition, où le symbole de la loi est omis :
x y \,
  • la notation préfixe, ou polonaise, se passe de parenthèses :
* x y \,, parfois * x , y \,
  • la notation suffixe, ou polonaise inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...), se passe aussi de parenthèses :
x y * \,, parfois x , y * \,
  • la notation losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.), mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l?ordre d?exécution des opérations, s?il y en a plusieurs :
x <> y \,

Exemples

  • Un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui...) sur un \mathbb{K}-espace vectoriel E est une loi de E× E dans \mathbb{K}.
  • l?exponentiation entière des réels est une loi de \mathbb{R}\times \mathbb{N} dans \mathbb{R};
  • les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l?addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs,...), la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre,...), la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre"...); attention toutefois, ce ne sont pas toujours des lois de composition : ainsi, la soustraction n?est pas une loi de composition dans \mathbb{N};
  • un exemple de multiplication externe est la multiplication d?un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs...).

Lois internes

Les lois internes sont la clef (Au sens propre, la clef ou clé (les deux orthographes sont correctes) est un dispositif amovible permettant d'actionner un mécanisme.) de voûte (Une voûte (ou voute) est un élément architectural de couvrement intérieur d'un édifice présentant un intrados. La voûte...) des structures algébriques étudiées en algèbre générale; elles définissent les groupes, les monoïdes, les semi-groupes, les anneaux, etc.

La structure générale de magma est un ensemble muni d?une loi de composition interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée...) quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l?addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d?un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives.

Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou :).

Lois externes

Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l?extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F ? F peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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