Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière suivante
Le réel a est constructible si et seulement s'il existe une suite finie de corps Li tels que
Pierre-Laurent Wantzel donne alors une condition nécessaire pour qu'un nombre a soit constructible :
Cette condition nécessaire permet (par sa contraposée) de démontrer que la duplication du cube et la trisection de l'angle ne sont pas réalisables à la règle et au compas.
Toutefois, cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Par exemple, le polynôme x4 + 2x - 2 est bien irréductible de degré 4 mais ses racines ne sont pas constructibles (voir la démonstration).
Article détaillé: Nombre constructible
Les Grecs ne pouvaient imaginer que des nombres positifs constructibles. Il faut pour suivre la démonstration élargir le champ des nombres constructibles en ajoutant la condition : si a est constructible alors - a est constructible.
D'où une nouvelle définition des nombres constructibles : est constructible toute coordonnée d'un point constructible.
La démarche est alors la suivante : si K est un corps de nombres constructibles, on considère, dans le plan, tous les points dont les coordonnées appartiennent à K, l'ensemble EK. Quels sont les points que l'on peut construire à la règle et au compas à partir des points de EK ?
Deux droites (AB) et (CD) dont les points A, B, C, D sont dans EK ont pour équation
Trouver les coordonnées (x , y) du point d'intersection I de ces deux droites revient à résoudre un système d'équations linéaires dans K. Les réels x et y sont éléments de K. Le point I appartient à EK.
La droite (AB) a pour équation ax + by + c = 0 et le cercle de centre C passant par D a pour équation x² + ux + y² + vy + t = 0.
Trouver les coordonnées des points d'intersection du cercle et de la droite revient, par substitution, à résoudre une équation du second degré sur K :P2(x) = 0 ou P2(y) = 0. Si le point d'intersection existe, ou bien cette équation possède des solutions dans K, ou bien cette équation est irréductible sur K mais possède des solutions dans l'extension quadratique L = K(X)/P2. Alors tous les réels de L sont aussi constructibles car ils s'écrivent a + bx où a et b sont dans K et x est solution de P2(x) = 0
Trouver l'intersection de deux cercles revient à trouver l'intersection d'un cercle avec une droite car le système
équivaut au système
Les coordonnées des points d'intersections appartiennent alors, soit à K soit à une extension quadratique de K constituée de nombres constructibles.
Un nombre est constructible si et seulement si on peut le construire en n étapes comme intersection de deux cercles, de deux droites ou d'un cercle et d'une droite, en partant de points dont les coordonnées sont rationnelles.
À chaque étape, ou bien les coordonnées reste dans le corps K de nombres constructibles d'origine ou bien " saute " dans une extension quadratique de celui-ci. Il existe bien une suite d'extensions quadratiques vérifiant les conditions requises.
Article détaillé: Tour d'extension quadratique
La force du théorème de Wantzel est de dire que, puisque a appartient au dernier maillon d'un chaîne d'extensions quadratiques, il est solution d'une équation de degré 2n sur . Mais il démontre aussi que ce polynôme est irréductible : a ne peut pas être solution d'un polynôme de degré inférieur. Le polynôme caractéristique de a est nécessairement de degré 2n.
En conséquence, comme le polynôme caractéristique de est x3 - 2 = 0 de degré 3, il n'est pas constructible.
Enfin, réaliser la trisection de l'angle revient à construire, à partir du point de coordonnées (a , b)
le point de coordonnées
En utilisant la formule trigonométrique
on s'aperçoit que cos(q) doit être solution de l'équation:
qui est de degré 1 ou de degré 3 sur . Donc la construction n'est pas toujours réalisable.
Dans la même publication, Pierre-Laurent Wantzel, complète les travaux de Gauss sur les polygones constructibles dans ce qu'on appelle désormais le théorème de Gauss-Wantzel.