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Espace vectoriel

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.

Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Historique

Les premières traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de certification et de notification basé sur internet sous la...) de discussion concernant les espaces vectoriels \mathbb{R}^2 et \mathbb{R}^3 peuvent se reconnaître dans les écrits des mathématiciens français Descartes et Fermat, vers 1636. Il était alors plutôt question de représentation graphique à partir des coordonnées que du concept de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition...), encore inconnu.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et de...) Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs [1]. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques [2] par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.), achève ainsi de définir les vecteurs.

D'autres exemples d'espaces vectoriels apparaissent avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des éléments des espaces vectoriels respectifs \mathbb{R}^2 et \mathbb{R}^4. Les systèmes linéaires, définis par Laguerre dès 1867, fournissent encore une série d'espaces vectoriels réels.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, Grassmann reprit le calcul barycentrique [3] initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), il aboutissait à la notion d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.). On y retrouve néanmoins les concepts de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) et d'indépendance linéaire, ainsi que le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle...) apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à Cauchy avec la publication de Sur les clefs algébrique dans les Comptes Rendus.

Le mathématicien italien Peano, dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants ? notamment la construction des ensembles usuels ? a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel, vers la fin du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...) [4].

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par Hilbert et Banach, lors de sa thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un...) de doctorat (Le doctorat (du latin doctorem, de doctum, supin de docere, enseigner) est généralement le grade universitaire le plus élevé. Le titulaire de ce grade est le docteur. Selon les pays et les époques, le...) en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) entre l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en...) naissante et l'algèbre se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) infinie.

Sources

  • MathPhysics
  • An Introduction to Linear Algebra, Leonid Mirsky - 1990
  • Introduction to Linear Algebra and Differential Equations, John Warren Dettman - 1986
  • (lien)

Définitions

Objet : espace vectoriel

Soit K un corps. On appelle K-espace vectoriel tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) triplet (E,+,?) où :

  • E est un ensemble ;
  • (E,+) est un groupe abélien ;
  • ? est une loi externe sur E à scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui...) dans K telle que :
    • l'élément unité " 1 " du corps K est neutre à gauche pour la loi " ? " :
      \forall\,  u \in E , \quad 1 \cdot u = u \,
    • la loi ? est distributive à gauche par rapport à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...) + de E :
      \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \ \forall\,  v \in E , \quad \lambda \cdot ( u + v ) = ( \lambda \cdot u ) + ( \lambda \cdot v ) \,
    • La loi ? est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps K :
      \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \quad ( \lambda + \mu ) \cdot  u = ( \lambda \cdot u ) + ( \mu \cdot u ) \,
    • La loi ? est exoassociative par rapport à la multiplication du corps K (elle l'" importe " dans l'espace vectoriel) :
      \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \quad ( \lambda . \mu ) \cdot u = \lambda \cdot ( \mu \cdot  u ) \,.

Selon le corps K, on peut parler de K-espace vectoriel, espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Cette terminologie s'utilise notamment en analyse.

Des axiomes ci-dessus découlent les propriétés suivantes :

  • L'élément zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.) " 0 " du corps K est exoabsorbant à gauche pour la loi ? :
    \forall\, u \in E , \quad 0 \cdot u = 0_{E} \,
  • L'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi ? :
    \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \quad \lambda \cdot  0_{E} =  0_{E} \,.

Dans certains ouvrages, les vecteurs peuvent être notés surmontés d'une flèche ou écrits avec des lettres en gras.

Sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un sous-groupe additif F de E stable par l'action de K. Dit autrement, la somme de deux éléments de F est un élément de F et le produit d'un scalaire par un vecteur de F appartient à F. En d'autres termes, on demande à ce que F soit stable par combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire.

Une combinaison linéaire est une somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La somme d'une famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers. Ainsi on pourra parler, en algèbre linéaire, de la famille de vecteurs (u1,...) d'éléments d'un groupe abélien est connue. La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs (x_i)_{\,i\,\in\, I} ayant pour coefficients (\lambda_i)_{\,i\,\in\, I} est le vecteur de E donné par :

\sum_{\,i\,\in\, I}\lambda_i\, x_i.

Lorsque l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) d'indexation \ I est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a...), il est nécessaire de supposer que le support de la famille (\lambda_i)_{\,i\,\in\, I} soit fini.

Somme de sous-espaces vectoriels

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On définit la somme de F et de G par :

\ F+G=\left\{x+y \ / \ (x,y) \in F\times G \right\}

F+G est un sous-espace vectoriel de E, c'est même le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de l'inclusion) contenant F et G.


Exemples

La classe des espaces vectoriels n'est pas un ensemble. La classe des espaces vectoriels sur un corps fixé, identifiés à isomorphisme linéaire près, n'est pas non plus un ensemble. De fait, la liste suivante ne saurait être exhaustive. Les espaces vectoriels cités trouvent leur intérêt dans les structures additives dont ils sont naturellement munis.

  • L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels sur K.
  • Le corps K se présente lui-même comme un espace vectoriel : l'addition et la multiplication fournissent respectivement la loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée...) et la loi externe. Plus généralement, tout plongement de K dans un corps L (ie L est une extension de K), munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K (voir extension de corps).
  • Pour tout ensemble I, le produit infini \mathbb{K}^I est un K-espace vectoriel muni des lois d'addition terme à terme et de multiplication extérieure sur chaque terme :
    • +\; :\; (x_i)+(y_i)=(x_i+y_i)
    • \cdot\;:\;\lambda\cdot(x_i)=(\lambda x_i)
    En particulier le vecteur nul est la famille dont tous les termes sont nuls. Ces espaces servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de modèles aux espaces vectoriels.
  • Plus généralement, le produit infini d'une famille d'espaces vectoriels sur K est un espace vectoriel sur K. Ce produit est le produit des espaces vectoriels au sens des catégories.
  • Pour une famille (Ei) d'espaces vectoriels, l'ensemble des familles à support fini (v_i)\in\prod E_i forme un sous-espace vectoriel du produit des Ei, appelé la somme des espaces Ei.
  • l'ensemble \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois " + " et " ? " sont définies par :
    si A=(a_{ij})_{i \in [\![1,n]\!], j \in [\![1,p]\!] } et \ B=(b_{ij})_{i \in [\![1,n]\!], j \in [\![1,p]\!] } :
    • +\;:\;(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto A+B=(a_{ij}+b_{ij})
    • \cdot\;:\;(\lambda,B)\in\mathbb{K} \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto \lambda\, B=(\lambda\, b_{ij})
    • neutre pour l'addition : la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls
  • l'ensemble des solutions d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) différentielle linéaire...
  • l'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. C'est un résultat à la base de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...) du déterminant.

Premières propriétés et dimension

Dimension

Familles libres, familles génératrices, bases

Une famille issue d'un espace vectoriel E est une " collection " de vecteurs de E.

Une famille \mathcal{L} d'éléments de E est dite libre (sur \mathbb{K}) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de \mathcal{L} à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de \mathcal{L} est celle dont tous les coefficients sont nuls ; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants. Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre ; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

Par exemple, une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre. A contrario, une famille quelconque comportant le vecteur nul est liée.

On peut montrer qu'une famille \ (u_1,\, u_2) de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire \ \alpha tel que \ u_2 = \alpha\, u_1 ou un scalaire \ \beta tel que \ u_1 = \beta\, u_2. On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. En revanche, rien n'assure qu'une famille liée comportant plus de trois vecteurs contienne forcément deux vecteurs colinéaires.

Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille.

On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice.

On peut montrer qu'une famille \mathcal{B} d'éléments de E est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de \mathcal{B}.

On démontre au moyen de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise....) du choix que tout espace vectoriel non réduit à \ \{0\} admet au moins une base.

Dimension finie

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.

L'entier d est appelé la dimension de E, notée \dim_{\mathbb{K}} E, ou s'il n'y a pas d'ambiguïté, \dim E. On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur \mathbb{K}), égale à d.

On convient qu'un espace vectoriel réduit à \ \{0\} (et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.

On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1 et plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

  • Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors :

  • toute famille génératrice de E a au moins n éléments ; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
  • toute famille libre de E a au plus n éléments ; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et \ (u_1, \dots, u_p) une famille libre de vecteurs de E telle que \ p < n (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base : elle n'est pas maximale).

Alors, il existe \ n - p vecteurs de E, qu'on peut noter \ (u_{p + 1}, \dots, u_n), tels que la famille \ (u_1, \dots, u_n) soit une base de E.

On dit qu'on a complété la famille libre \ (u_1, \dots, u_p) en une base de E. (Voir le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) de la base incomplète).

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :

  • tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ? dim E
  • si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et F_1,\, F_2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2.

Supplémentaire et somme directe

Soit \ E un espace vectoriel et \ F un sous-espace vectoriel de E. On dit du sous-espace vectoriel \ G qu'il est un supplémentaire de \ F dans \ E si:

  • \ F \cap G=\left\{ 0_{E} \right\}
  • \ F+G=E

On dit alors que \ E est somme directe de \ F et de \ G et on note \ E=F \oplus G. Lorsque c'est le cas, tout vecteur de \ E se décompose de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à \ F et l'autre à \ G.


Si un sous-espace vectoriel admet toujours un supplémentaire, l'unicité de ce dernier n'est absolument pas imposée. (Par exemple, dans \mathbb{R}^3, les suplémentaires d'un plan quelconque sont toutes les droites non contenues dans ce plan. Il existe donc ici une infinité de supplémentaires différents).

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) à une somme directe de \ n sous-espaces vectoriels demande une légère attention. En effet, soit \ (E_{i})_{1\geq i\geq n} une famille de sous-espace vectoriels de \ E, la condition "l'intersection des sous-espaces deux à deux est \  \left\{ 0_{E} \right\}" est nécessaire mais non suffisante pour définir une somme directe. (Penser au contre exemple dans le plan \ \mathbb{R}^2 des trois droites dirigées par \ (0,1),\ (1,0) et \ (1,1) dont l'intersection deux à deux est \ {(0,0)} mais qui ne peuvent pas être en somme directe).

Les sous-espaces de la famille des \ (E_{i})_{1\geq i\geq n} sont en somme directe si:

\ \forall k \in \left\{ 1,...,n-1\right\}, \ +_{i=1}^{k}E_{i}\cap E_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}

[à continuer]

Applications linéaires

Définitions

Soient \ E et \ F deux espaces vectoriels.

  • Une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire...) \ f de \ E dans \ F est une application telle que:

\forall (x,y) \in E^2 ,\forall \lambda \in \mathbb{K},\ f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y).

L'ensemble des applications linéaire de \ E dans \ F est noté \ L(E,F). Lorsque \ F=E, on parle d'endomorphisme de \ E et on note leur ensemble \ L(E).

  • Une application linéaire du \mathbb{K}-espace vectoriel \ E dans \mathbb{K} est nommée forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en...).
  • Soit \ f \in L(E,F).

On appelle noyau de \ f et on note \ Ker(f) l'ensemble \ \left\{ x \in E\ / f(x)=0_F \right\}.

On appelle image de \ f et on note \ Im(f) l'ensemble \ \left\{ y \in F\ / \ \exists x \in E \ et \ y=f(x) \right\}.

La dimension de l'image est appellée rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le...) de \ f. On le note \ rg(f).

Propriétés et théorèmes

  • L'image et le noyau sont respectivement sous-espaces vectoriels de l'espace d'arrivée de de l'espace de départ.
  • \ E de dimension finie, \ f \in L(E,F). Alors \ f définit un isomorphisme de tout supplémentaire de \ Ker(f) dans \ Im(f).
  • En découle, en dimension finie toujours, le théorème du rang:

\ Dim(E)=Dim(Im(f))+Dim(Ker(f)),

que l'on peut reformuler sous la forme \ rg(f)=Dim(E)-Dim(Ker(f)) d'où le nom du théorème.

  • On identifie souvent \ L(E,F) à \ M_{n,p}(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices de taille \ n\times p, où \ n et \ p sont les dimensions respectives de \ E et \ F.

Exemples

  • L'application nulle, les homothéties (dans le cas des endomorphismes) sont des exemples triviaux d'applications linéaires.

Espaces vectoriels topologiques

On peut munir un espace vectoriel d'une structure topologique compatible avec la structure linéaire. Compatible signifie que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent être continues. Des exemples fondamentaux d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et espaces de Hilbert.

Dualité

Définitions

\ E est un \mathbb{K}-espace vectoriel.

  • On appelle dual de \ E et on note \ E^* l'ensemble des formes linéaires sur \ E. ( Attention à la notation, il n'y a ici aucun rapport entre \ E^* et \ E-\left\{ 0_E \right\} ).
  • Un base de \ E^* est appelée base duale.

Propriétés en dimension finie

  • \ Dim(E^{*})=Dim(E)
  • Soit \ H un sous-espace vectoriel de \ E. On a l'équivalence suivante:
\ H est un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) de \ E \Leftrightarrow \exists f \in E^{*}-\left\{0_{E^{*}}\right\} / \ H=Ker(f),
c'est-à-dire que tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
  • Soit \ B=\left\{e_{1},...,e{n} \right\} une base de \ E. Il existe une unique base duale \ B^{*}=\left\{e_{1}^{*},...,e_{n}^{*}\right\} telle que:
\forall (i,j) \in {\left\{1,...,n \right\}}^2,\ e_{i}^{*}(e_{j})={\delta}_{ij}, où \ {\delta}_{ij} est le symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec, et est...).
On dit alors que \ B^* est la base duale associée à \ B.

Objets algébriques liés

Modules

Les modules généralisent les espaces vectoriels puisqu'ils ont les mêmes axiomes de départ, mise à part le fait, important, que la loi externe est définie sur un anneau commutatif et non sur un corps.

De nombreuses propriétés vraies dans les espaces vectoriels ne sont plus vraies dans les modules, par exemple l'existence d'une base n'est plus assurée dans un modules.

Algèbres

[à compléter]

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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