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Conjecture de Poincaré

La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.

Jusqu'à l'annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s'agissait d'un problème de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) non résolu. Il est considéré par la communauté des spécialistes comme le plus important de cette branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) et est sans doute l'un des problèmes les plus connus. Il fait partie des sept problèmes du Prix du millénium listés en 2000 par l'Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le...) de mathématiques Clay.

Historique

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en...)

La conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports à maints domaines des...) en 1904, et s'énonce ainsi :

" Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 3. "

Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : " mais cette question nous entraînerait trop loin ".

Précisément, la question est de savoir si toute variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 3 fermée, simplement connexe et sans bord est homéomorphe à une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...). Plus grossièrement, si " un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...) à trois dimensions " donné possède les mêmes propriétés que celles d'une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), alors il est juste une " déformation " d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire, surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) dans ? l'espace ordinaire ?, possède seulement deux dimensions).

Notons que ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut...) autre que \mathbb{R}^3 (l'espace ordinaire) ne peuvent être dessinés proprement comme objets dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

Un long chemin vers sa résolution

En l'an 2000, l'Institut de mathématiques Clay a mis à prix la conjecture de Poincaré (La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.) et offre un prix d'un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède...) de dollars pour sa solution, ce qui en fait l'un des sept problèmes les plus recherchés du millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.).

La conjecture a induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité...) une longue liste de preuves incorrectes et certaines d'entre elles ont mené à une meilleure compréhension de la topologie en petites dimensions.

Progrès récents

Vers la fin de l'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) 2002, des publications sur l'arXiv de Grigori Perelman de l'institut de mathématiques Steklov (L'Institut de mathématiques en mémoire de V. A. Steklov (?????????????? ???????? ????? ?.?.???????? en russe) connu sous le nom d'Institut Steklov est un centre de recherche en...) de Saint-Pétersbourg laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la " conjecture de géométrisation " (voir plus ci-dessous), mettant en ?uvre un programme décrit plus tôt par Richard Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Grigori Perelman en 2003 résolvait ce problème, plus d'un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...) après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international de mathématiques (Le congrès international de mathématiques est une manifestation organisée tous les quatre ans par l'Union mathématique internationale.) le 22 Août 2006 à Madrid (Madrid est la capitale de l'Espagne. Ville la plus vaste et la plus peuplée du pays, c'est le chef-lieu de la Communauté autonome de Madrid qui appartient à la province de...) au cours duquel la médaille Fields (La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense pour la reconnaissance de travaux en mathématiques, souvent comparée au Prix Nobel. Son but est d'apporter un soutien aux...) lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille et la somme qui l'accompagne. Perelman a également refusé le prix Clay.

Éléments liés à la preuve de la conjecture

Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d'une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est...) près (sans répétition). Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas.

On peut considérer la conjecture de Poincaré comme un cas particulier de la conjecture de géométrisation de Thurston formulée vers la fin des années 1970. Cette dernière conjecture, si elle était prouvée, achèverait la question de classification des variétés de dimension 3. Les seules parties de la conjecture de géométrisation qu'il reste à démontrer, sont appelées la conjecture d'" hyperbolisation " et la conjecture d'" elliptisation ".

La conjecture d'" elliptisation " déclare que toute variété de dimension 3 fermée ayant un groupe fondamental fini, a une géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) sphérique, c'est-à-dire est couverte par la 3-sphère. La conjecture de Poincaré correspond au cas où le groupe fondamental est trivial.

Problèmes mathématiques reliés

Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées:

toute variété compacte de dimension n qui est homotopiquement équivalente à la sphère unité est homéomorphe à la sphère unité.

La conjecture de Poincaré donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) précédemment apparaît comme le cas particulier n=3.

La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues ont maintenant été prouvés :

  • en dimension n=4 de loin la plus difficile, par Freedman en 1982 ;
  • en dimension n=5, par Zeeman en 1961 ;
  • en dimension n=6, par Stallings en 1962 ;
  • pour n?7 par Smale en 1961 (il étendit sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de...) à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n?5).

alors que la version à trois dimensions originale de la conjecture de Poincaré demeurait sans solution.

Notes et références

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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