Connexité par arcs - Définition
La notion topologique de connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. En fait, la connexité est la notion fondamentale. Mais la connexité par arcs est plus intuitive, et se trouve être très souvent la meilleure façon de prouver la connexité.
Chemins
Avant de définir la connexité par arcs il faut définir ce qu'on appelle " relier par un chemin ". Selon le cadre où l'on se trouve on peut considérer des chemins particuliers.
Chemins dans un espace topologique
Si 
est un espace topologique et si 
et 
sont deux points de , on appelle chemin d'origine et d'extrémité toute application continue ![\gamma : [0,1] \rightarrow E \,\!](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/d/db93627744bbaf0fa6ed607653ec15fe_df9a7f83eb7a9907a9697735a41b767f.png){kind=small}
telle que 
et 
.
On dit que et sont reliés si et seulement s’il existe un chemin d'origine et d'extrémité .
Propriété : La relation " est relié à " est une relation d'équivalence :
- est relié à ;
- (grâce au chemin constant
![\forall t \in [0,1],\, \gamma(t)=x \,\!](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/a/a95f2f210115ea69e6d42d217380782d_964c3067e93abf18190834b4932c7447.png)
)
- si est relié à alors est relié à ;
- (grâce au chemin opposé
![\forall t \in [0,1],\, \bar{\gamma}(t) = \gamma (1-t)\,\!](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/c/c69388f16ff9cb7340c5113fd6761056_136c48f5bc543d093559174fb88db44a.png)
)
- si est relié à et est relié à
alors est relié à ;
- (si
relie à et 
relie à alors le chemin composé 
défini par 
si 
et 
si 
relie à )
Chemins dans un espace vectoriel normé
Dans le cas où l'espace ambiant est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.
- Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne si et seulement il peut s'écrire
![\forall t \in [0,1],\, \gamma(t) = x + t \vec{u} \,\!](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/c/cd1c3897dd786ab2dabf5c60e0f6b131_0d77d5b9c0151aeae20387c9237c60cd.png)
. 
est appelé vecteur directeur de 
. Le support du chemin est alors un segment de droite.
- Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal si et seulement s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.
- Chemins de classe
: un chemin peut être de classe avec 
. En fait tout chemin est de classe 
c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe avec 
sera dit de plus régulier si ![\forall t \in ]0,1[ ,\, \gamma ' (t) \neq 0 \,\!](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/d/d94a2e9637a74383207ad5cc740fedf2_ac589ba1e70fe4097722ba78d1ad1a84.png)
. Un chemin régulier de classe 
est dit chemin lisse.
Connexité par arcs
Ces différents types de chemins vont permettre de définir différents types de connexité par arcs selon les cas.
Définition
Un espace topologique est dit connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de est relié par un chemin.
Une partie 
de est dite connexe par arcs si et seulement tout couple de points de sont relié par un chemin restant dans .
Une partie d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (resp. par arcs ) si deux points quelconques de peuvent être reliés par un chemin polygonal (resp. de classe ).
La connexité par arcs rectilignes correspond à la convexité.