En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.
On introduit tout d'abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes :
On rappelle que :
Soit M une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes :
1. | Pour toute matrice colonne non nulle à n éléments réels, on a
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2. | Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire :
|
3. | La forme bilinéaire symétrique définie par la relation
est un produit scalaire sur (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à n éléments réels). |
Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.
La propriété 1 signifie que M définit une une forme quadratique définie positive, la propriété 2 que sur , vu comme espace euclidien avec le produit scalaire =\sum_{i=1}^nx_iy_i" />, M définit un opérateur auto-adjoint positif. L'équivalence entre 1 et 2 vient de cette double interprétation, à la lumière de la réduction de Gauss et du théorème spectral. Si 1 est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, on voit en appliquant 1 aux vecteurs propres que les valeurs propres sont strictement positives. Si 2 est vraie, il existe une matrice orthogonale telle que soit diagonale (parce que est symétrique réelle) à coefficients diagonaux positifs (c'est l'hypothèse 2 sur les valeurs propres). Mais comme Q − 1 = tQ, la matrice est aussi congrue à la matrice diagonale en question, donc la forme quadratique est définie positive.
On appelle matrice de Hilbert la matrice (symétrique d'ordre n) , telle que . Elle est définie positive.
Nota : ceci est un cas particulier d'une propriété des matrices de Gram. La matrice de Gram d'une famille de n vecteurs d'un espace préhilbertien (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est libre.,
On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.
Soit M une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 4 propriétés équivalentes suivantes :
1. | Pour toute matrice colonne non nulle à n éléments complexes, on a
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2. | Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives, c'est-à-dire :
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3. | La forme sesquilinéaire définie par la relation
est un produit scalaire sur (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à n éléments complexes). |
Une matrice hermitienne est dite définie négative si son opposée (hermitienne elle aussi) est définie positive.
Les propriétés suivantes sont communes aux matrices symétriques réelles et aux matrices complexes hermitiennes.
Pour qu'une matrice , symétrique réelle ou complexe hermitienne, soit définie positive, il faut et suffit que les les n matrices aient leur déterminant strictement positif.