Plan propre - Définition
Dans les mathématiques, un plan propre est un sous-espace invariant d'un espace vectoriel donné. Par analogie avec le terme vecteur propre pour un vecteur qui, lorsque opéré par un opérateur linéaire donne un autre vecteur qui est lui-même multiplié par un scalaire, le terme plan propre peut être utilisé pour parler d'un plan bi-dimensionnel (un 2-plan), tel que le résultat de l'application d'un opérateur linéaire sur un vecteur dans le 2-plan donne toujours un autre vecteur dans le même 2-plan.
Un cas particulier qui a été étudié est celui où l'opérateur linéaire est une isométrie M de l'hypersphère (écrit S3) représenté dans l'espace euclidien à quatre dimensions :
![M \; [ \mathbf{s} \; \mathbf{t} ] \; = \; [ \mathbf{s} \; \mathbf{t} ] \Lambda_\theta](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/3/376736737d055e9ee405eecf6bbfc5ba_565a765a5c3cd1184fd213216c76975e.png){kind=small}
où s et t sont des vecteurs quadri-dimensionnels en colonne et Λθ est une rotation propre à deux dimensions à l'intérieur du plane propre.
Dans le problème classique du vecteur propre, il existe la liberté de multiplier un vecteur propre par un scalaire arbitraire ; dans le cas actuel, il existe la liberté de multiplier par un rotation non-zéro arbitraire.
Cette situation est potentiellement d'intérêt physique dans le cas où la forme de l'Univers soit une 3-variété multi-connexe, puisque trouver les angles des rotations propres d'une isométrie candidate pour le lentillement topologique est une manière de falsifier ce genre d'hypothèse.