Théorème de la base incomplète - Définition

Enoncé

Soit E un espace vectoriel, une famille génératrice de E et avec , une famille libre.

Alors il existe I'' tel que et tel que soit une base de E.

Le théorème signifie que si on a une famille libre de E, on peut la compléter pour obtenir une base de E, d'où le nom de base incomplète.

Démonstration

Cas où I est fini (et donc E est de dimension finie)

La démonstration dans le cas fini est un simple algorithme :

1. on part de la famille libre initiale
2. si cette famille n'est pas génératrice (n'est pas une base), on lui ajoute un élément tel que v n'est pas une combinaison linéaire de
3. on réitère 2 jusqu'à ce que l'on obtienne une base

Preuve de la sûreté :

• Premier invariant à démontrer : en 2, si est bien une famille libre non génératrice, on peut lui adjoindre un élément de qui n'est pas combinaison linéaire de .

En effet, s'il n'existait pas d'élément de qui ne soit pas combinaison linéaire de , cela voudrait dire que peut générer tout , et donc tout E, puisque cette dernière famille est génératrice de E. Donc serait déjà génératrice de E.

• Deuxième invariant à démontrer : lorsque l'on ajoute un tel élément à , la nouvelle famille obtenue est toujours libre.

En effet, le nouvel élément n'est pas une combinaison linéaire des précédents.

Preuve de la vivacité :

À chaque itération, on augmente d'un élément de à chaque fois différent (en effet, on ne peut pas prendre deux fois un élément car il est combinaison linéaire de lui-même). Or est fini, donc l'algorithme doit s'arrêter au bout d'un nombre fini d'étapes.

Il découle de cela que l'algorithme s'arrêtera dans un temps fini et que lorsqu'il s'arrête, il a forcément exhibé une famille génératrice et libre de E, c'est-à-dire une base.

Cas général

La démonstration dans le cas général fait intervenir le Lemme de Zorn, et donc indirectement, l'axiome du choix.

En effet, on doit considérer l'ensemble des familles libres incluses dans et remarquer qu'elles forment un ensemble inductif pour l'inclusion. Le lemme de Zorn assure donc qu'il existe une famille maximale, et on constate que cette famille maximale est justement une base de E.

Corollaire

Tout espace vectoriel non réduit à 0 admet une base.

Il suffit en effet d'appliquer le théorème de la base incomplète à un singleton non nul (famille libre) et à E (famille génératrice) pour obtenir ce résultat.

Corollaire

Soit E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E Alors F possède un supplémentaire dans E, i.e. il existe un sous-espace vectoriel G de E tel que . En effet, c'est clair si F={0} ou F=E; sinon, on considère une base B de F qu'on complète en une base B' de E: l'espace engendré par les vecteurs de B' qui ne sont pas dans F convient.

Une conséquence contre-intuitive

Munissons de sa structure naturelle de -espace vectoriel. Si on suppose l'axiome du choix, possède un supplémentaire G dans . G est alors un sous-groupe additif strict indénombrable et non Lebesgue-mesurable de ; de plus, il ne contient aucun rationnel non nul. Si f est la symétrie par rapport à parallèlement à G, f est une involution de continue nulle part, non mesurable, de graphe dense et fixant chaque rationnel. Ce type de construction est typique de l'utilisation de l'axiome du choix. On pourra lire dans le même esprit une construction, avec axiome du choix, d'automorphismes de corps non continus de C.