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Conique

Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.

Définition purement géométrique euclidienne

Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.

Intersection d'un plan et d'un cône de révolution
Intersection d'un plan et d'un cône de révolution

Selon les positions relatives du plan et du cône, on obtient différents types de coniques :

  • les coniques propres, quand le plan n'est pas perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du...) à l'axe du cône, et ne passe pas par son sommet. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) d'inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un autre. Il décrit l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence (généralement le...) du plan avec l'axe du cône :
    • si cet angle est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse;
    • si l'angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole;
    • et si les deux angles sont égaux, c'est une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les...).
  • les coniques partiellement dégénérées :
    • l'intersection est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) quand le plan est perpendiculaire à l'axe du cône;
    • l'intersection est une hyperbole équilatère quand l'angle d'inclinaison du plan est inférieur de 45° à l'angle d'ouverture du cône;
  • et les coniques totalement dégénérées, quand le plan contient le sommet du cône :
    • l'intersection est un couple de droites sécantes, si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône est inférieur à l'angle d'ouverture du cône ;
    • l'intersection est réduite à une droite si ces angles sont égaux.
    • enfin elle est réduite à un point (Graphie) si l'angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) purement projective

Il s'agit de définir les coniques sans distances, sans angles, juste avec la règle, le crayon et une poignée d'axiomes, dans la plus pure tradition de Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.) et Girard Désargues: voir traité projectif des coniques

Définition monofocale

La définition monofocale des coniques est encore appelée définition par foyer et directrice de ces coniques.

Définition

Quatre coniques ayant même foyer et même directrice
Quatre coniques ayant même foyer et même directrice

Dans un plan (p), on considère une droite (d) et un point F non situé sur (d). Soit e un réel strictement positif.

On appelle conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre...) de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) des points M du plan (p) vérifiant :

(lien)\ d(M,F) = e\ d(M,(d)) \qquad e \in\mathbb{R}^*_+

d(M,F) mesure la distance du point M au point F

et

d(M,(d)) mesure la distance du point M à la droite (d)

On notera que les ellipses sont des courbes fermées et bornées, que les paraboles sont ouvertes et infinies, et que les hyperboles possèdent deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes.

Mise en équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...)

Soit O la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale du point F sur la droite (d). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (O, (OF), (d)).

Soit p la distance de O à F (p s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (p,0).

Pour un point M de coordonnées (x,y) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :

(lien) \qquad d(M,F) = \sqrt{ (x-p)^2 + (y-0)^2 }
(lien) \qquad d(M,(d)) = \sqrt{ (x-0)^2 }

ce qui implique en élevant (lien) au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...) et en utilisant (lien) et (lien) :

(lien) \qquad (x-p)^2 + y^2 = e^{2}x^2

soit après simplification :

(lien) \qquad x^2(1-e^2) + y^2 - 2xp + p^2 = 0
types de conique
types de conique

En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :

  • Si 0 < e < 1 une ellipse
  • Si e = 1 une parabole
  • Si e > 1 une hyperbole

Les coniques dégénérées s'obtiennent en modifiant les conditions précédentes

  • Si F est sur D, on obtient :
    • Si e < 1 le point O (qui est aussi le point F);
    • Si e = 1 la droite perpendiculaire à (d) passant par F;
    • Si e > 1 deux droites sécantes ;
  • Si e = 0, le point O (qui est aussi le point F).

Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r

Définition bifocale

L'ellipse peut être définie comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers de l'ellipse est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, dans lequel les foyers sont confondus.

L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers de l'hyperbole est constante et égale à une valeur fixée.

La parabole n'a pas de définition bifocale.

Définition analytique

Cas affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :)

En géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un...) affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les coordonnées cartésiennes x et y des points sont solution d'une équation polynômiale du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :), de la forme :

A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,

avec l'un au moins des trois coefficients A, B ou C non nul pour que l'équation soit effectivement du second degré ( condition (1) ).

Suivant le repère utilisé, l'expression de l'équation sera plus ou moins simple, mais restera toujours du second degré. Il est intéressant de chercher le repère dans lequel l'expression de l'équation, dite équation réduite, sera la plus simple.

Pour cela, nous pouvons remarquer d'abord qu'il est toujours possible de rendre le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) B nul par une rotation du repère.

Nous regardons ensuite les coefficients A et C :

  • Si le coefficient C est lui aussi nul, A est alors forcément non nul ( condition (1) ), et une translation suivant l'axe des x permet ainsi d'annuler le coefficient D.
  • Si E est nul, en posant   p = - F / A ,   l'équation se réduit à :
x^2 = p \,
Suivant le signe de p, nous obtenons 0 à 2 droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun...).
  • Si E est non nul, une translation suivant l'axe des y annule F. En posant   p = - A / E ,   nous obtenons l' équation cartésienne réduite d'une PARABOLE :
y = p\,x^2 \,
  • Si le coefficient A est nul, on obtient la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non....) symétrique de la précédente où x et y voient leurs rôles échangés. On obtient donc encore :
  • Si D est nul, 0 à 2 droites parallèles,
  • Si D est non nul, une PARABOLE d'équation réduite :
x = q\,y^2 \,
  • Si les coefficients A et C sont tous les deux non nuls, une translation suivant l'axe des x annule D, et une translation suivant les y annule E. L'équation se réduit donc à :
A x^2 + C y^2 = - F \,
  • Si A et C sont de même signe :
- si F est lui aussi du même signe, il n'y a pas de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) correspondante;
- si F est nul, la courbe se réduit à un point;
- si F est de signe opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés...), nous pouvons poser   a 2 = - F / A   et   b 2 = - F / C ;   nous parvenons ainsi à l' équation cartésienne réduite d'une ELLIPSE :
( x / a )^2 + ( y / b )^2 = 1 \,
  • Si A et C sont de signes opposés :
- si F est nul, la courbe se réduit à 2 droites sécantes (= qui se croisent);
- si F est du signe de A, nous pouvons poser   a 2 = F / A   et   b 2 = - F / C ;   nous parvenons ainsi à l' équation cartésienne réduite d'une HYPERBOLE :
( x / a )^2 - ( y / b )^2 = -1 \,
- si F est du signe de C, nous pouvons poser   a 2 = - F / A   et   b 2 = F / C ;   nous parvenons ainsi à l' autre équation cartésienne réduite d'une HYPERBOLE :
( x / a )^2 - ( y / b )^2 = 1 \,

Cas projectif

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) analytique projective, les coniques sont encore les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées projectives X, Y et Z qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme (voir coordonnées homogènes):

A X^2 + B X Y + C Y^2 + D X Z + E Y Z + F Z^2 = 0 \,

On travaille donc dans le plan projectif où un point générique a pour coordonnées homogénes [X:Y:Z], et deux coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes...) proportionnelles ([?X:?Y:?Z] et [X:Y:Z], pour un certain ?) désignent le même point du plan. Notre plan projectif contient plusieurs exemplaires du plan affine ; notamment l'ensemble des points admettant des coordonnées homogènes de la forme [X:Y:1].

On peut noter alors que pour Z = 1, on retrouve l'équation du cas affine. En fait, on a :

x = X / Z \,   et   y = Y / Z \,

Une première question qu'on se pose est alors : en se limitant à l'image de la conique dans le plan affine ci-dessus défini, quel type de conique affine retrouve-t-on? (et même, retrouve-t-on bien une conique affine?). Pour ce faire, on regarde d'abord leur comportement à l'infini ( présence d'asymptotes ou de branches paraboliques,...). Faire tendre x et y vers l'infini revient à faire tendre Z vers 0. Pour Z = 0, l'équation précédente se réduit à :

A X^2 + B X Y + C Y^2 = 0 \,

Cette équation est appelée équations aux directions asymptotiques, car le rapport Y / X donne alors la pente à l'infini de la courbe, c'est-à-dire sa direction asymptotique.

  • Si   C = 0 :
  • si   B = 0 ,   l'équation a une solution X = 0 de multiplicité double, ce qui correspond à une pente à l'infini infinie, donc à une direction asymptotique verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) double; la courbe est donc soit une parabole d'axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.), soit 0 à 2 droites verticales parallèles;
  • si B est non nul, nous obtenons deux directions asymptotiques simples, l'une verticale, l'autre non; la courbe est donc soit une hyperbole, soit 2 droites concourantes;
  • Si C est non nul, en posant t = Y / X, l'équation devient :
A + B t + C t^2 = 0 \,
  • si le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré...) de cette équation est strictement positif, nous obtenons 2 directions asymptotiques simples distinctes, et la courbe est soit une hyperbole, soit 2 droites concourantes;
  • si le discriminant de cette équation est nul, nous obtenons une direction asymptotique double, et la courbe est soit une parabole, soit 0 à 2 droites parallèles;
  • si le discriminant de cette équation est strictement négatif, la courbe n'a pas de direction asymptotique, donc pas de branches infinies, et la courbe, si elle existe, est soit une ellipse, soit un point.

Cependant, le véritable intérêt de l'utilisation de la géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.) est ailleurs. La classification qui a été faite dans le cas affine, et réinterprétée dans le cadre projectif, se base sur des changements de coordonnées affines ; et qui peuvent s'interpréter, le plan affine étant vu comme une partie du plan projectif, comme les changements de coordonnées projectifs qui laissent fixe la droite à l'infini (c'est-à-dire les points du plan projectif de la forme [X,Y,0]). Il existe évidemment beaucoup d'autres changements de coordonnées projectifs, et s'autoriser à les utiliser va permettre d'assouplir grandement la classification des coniques. En fait, la classification des coniques projectives provient directement de celle des formes bilinéaires symétriques sur l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 3 sous-jacent à notre plan projectif.

Cas barycentrique

En géométrie analytique barycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées barycentriques ?, ? et ? qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme :

A_{11} \lambda^2 + A_{22} \mu^2 + A_{33} \nu^2 + 2 A_{12} \lambda \mu + 2 A_{23} \mu \nu + 2 A_{31} \nu \lambda = 0 \,

On peut identifier cette équation à la précédente, en posant :

\lambda = X , \ \mu = Y , \ \nu = Z

On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près :

A_{11} = A , \ A_{22} = C , A_{33} = F , A_{12} = B / 2 , A_{23} = E / 2 , A_{31} = D / 2 \,
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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