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Méthode des moindres carrés
Illustration de la méthode des moindres carrés. Les données suivent la courbe figurée en pointillés et sont affectées par un bruit gaussien centré, de variance 1. Elles sont représentées graphiquement sous la forme de points de mesures, munis de barres d'erreur, représentant, par convention,  écart-type autour du point de mesure. Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés est représenté en rouge. Il s'agit de la fonction qui minimise la somme quadratique des écarts (appelés résidus) entre les données et le modèle.
Illustration de la méthode des moindres carrés. Les données suivent la courbe figurée en pointillés et sont affectées par un bruit gaussien centré, de variance 1. Elles sont représentées graphiquement sous la forme de points de mesures, munis de barres d'erreur, représentant, par convention, \pm 1 écart-type autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) du point (Graphie) de mesure. Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés (La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Gauss et Legendre, permet de comparer des données expérimentales, généralement...) est représenté en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.). Il s'agit de la fonction qui minimise la somme quadratique des écarts (appelés résidus) entre les données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) et le modèle.

La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Gauss et Legendre, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d?erreurs de mesure à un modèle mathématique (Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens...) censé décrire ces données.

Ce modèle peut prendre diverses formes. Il peut s?agir de lois de conservation que les quantités mesurées doivent respecter. La méthode des moindres carrés permet alors de minimiser l?impact des erreurs expérimentales en " ajoutant de l?information " dans le processus de mesure.

Dans le cas le plus courant, le modèle théorique est une famille de fonctions ?(x;?) d?une ou plusieurs variables muettes x, indexées par un ou plusieurs paramètres ? inconnus. La méthode des moindres carrés permet de sélectionner parmi ces fonctions, celle qui reproduit le mieux les données expérimentales. On parle dans ce cas d?ajustement par la méthode des moindres carrés. Si les paramètres ? ont un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) la procédure d?ajustement donne également une estimation indirecte de la valeur de ces paramètres.

La méthode consiste en une prescription (initialement empirique) qui est que la fonction ?(x;?) qui décrit " le mieux " les données est celle qui minimise la somme quadratique des déviations des mesures aux prédictions de ?(x; ?). Si par exemple, nous disposons de N mesures, (yi?) i = 1, N les paramètres ? " optimaux " au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la quantité :

S(\theta) = \sum_{i=1}^N \left(y_i - f(x_i;\theta)\right)^2 = \sum_{i=1}^N r_i(\theta)

où les ri(?) sont les résidus au modèle, i.e. les écarts entre les points de mesure yi et le modèle f(x;?). S(?) peut être considéré comme une mesure de la distance entre les données expérimentales et le modèle théorique qui prédit ces données. La prescription des moindres carrés commande (Commande : terme utilisé dans de nombreux domaines, généralement il désigne un ordre ou un souhait impératif.) que cette distance soit minimale.

Si, comme c'est généralement le cas, on dispose d'une estimation de l'écart-type ?i du bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-à-dire vibration de l'air pouvant donner lieu à la création d'une sensation auditive.) qui affecte chaque mesure yi, on l'utilise pour " peser " la contribution de la mesure au ?². Une mesure aura d'autant plus de poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à...) que son incertitude sera faible:

\chi^2(\theta) = \sum_{i=1}^N \left(\frac{y_i - f(x_i;\theta)}{\sigma_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^N w_i \left(y_i - f(x_i;\theta)\right)

Les quantités wi, inverses des variances des mesures sont appelés poids des mesures. La quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la...) ci-dessus est appelée khi carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) ou khi-deux. Son nom vient de la loi statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...) qu'elle décrit, si les erreurs de mesure qui entachent les yi sont distribuées suivant une Loi normale (ce qui est très courant). Dans ce dernier cas, la méthode des moindres carrés permet de plus d?estimer quantitativement l?adéquation du modèle aux mesures, pour peu que l'on dispose d'une estimation fiable des erreurs ?i. Si le modèle d?erreur est non gaussien, il faut généralement recourir à la méthode du maximum de vraisemblance, dont la méthode des moindres carrés est un cas particulier.

Son extrême simplicité fait que cette méthode est très couramment utilisée de nos jours en sciences expérimentales. Une application courante est le lissage des données expérimentales par une fonction empirique (fonction linéaire, polynomes ou splines). Cependant son usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) le plus important est probablement la mesure de quantités physiques à partir de données expérimentales. Dans de nombreux cas, la quantité que l?on cherche à mesurer n?est pas observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre physique, ou plus généralement une information sur un système...) et n?apparaît qu?indirectement comme paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) ? d?un modèle théorique f(x, ?). Dans ce dernier cas de figure, il est possible de montrer que la méthode des moindres carrés permet de construire un estimateur de ?, qui vérifie certaines conditions d?optimalité. En particulier, lorsque le modèle f(x, ?) est linéaire en fonction de ?, le Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Gauss-Markov garantit que la méthode des moindres carrés permet d'obtenir l'estimateur non-biaisé le moins dispersé. Lorsque le modèle est une fonction non-linéaire des paramètres ? l'estimateur est généralement biaisé. Par ailleurs, dans tous les cas, les estimateurs obtenus sont extrêmement sensibles aux points aberrants : on traduit ce fait en disant qu?il aont non robustes. Plusieurs techniques permettent cependant de " robustifier " la méthode.

Histoire

Carl Friedrich Gauss.
Carl Friedrich Gauss.

Le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure...) du Nouvel An de 1801, l'astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) italien Giuseppe Piazzi a découvert l'astéroïde (Un astéroïde est un objet céleste dont les dimensions varient de quelques dizaines de mètres à plusieurs kilomètres et qui, à la...) Cérès. Il a alors pu suivre sa trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) durant 40 jours. Durant cette année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.), plusieurs scientifiques ont tenté de prédire sa trajectoire sur la base des observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) de Piazzi (noter que la résolution des équations non linéaires de Kepler de la cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des...) est un problème très difficile). La plupart des prédictions furent erronées; et le seul calcul suffisamment précis pour permettre à Zach, un astronome allemand, de localiser à nouveau Cérès à la fin de l'année, fut celui de Carl Friedrich Gauss, alors âgé de 24 ans (il avait déjà réalisé l'élaboration des concepts fondamentaux en 1795, lorsqu'il était alors âgé de 18 ans). Mais sa méthode des moindres carrés ne fut publiée qu'en 1809, lorsqu'elle parut dans le tome 2 de ses travaux sur la Mécanique céleste (La mécanique céleste est un terme qui désigne la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et planètes à l'aide des théories physiques et...) , Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) français Adrien-Marie Legendre a développé indépendamment la même méthode en 1805.

En 1829, Gauss a pu donner les raisons de l'efficacité de cette méthode ; en effet, la méthode des moindres carrés est justement optimale à l'égard de bien des critères. Cet argument est maintenant connu sous le nom du théorème de Gauss-Markov.

Formalisme

Deux exemples simples

Moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient...) d'une série de mesures indépendantes

L'exemple le plus simple d'ajustement par la méthode des moindres carrés est probablement le calcul de la moyenne m d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) de mesures indépendantes (yi)i = 1..N entachées d'erreurs gaussiennes. La prescription des moindres carrés revient à minimiser la quantité :

\chi^2(m) = \sum_{i=1}^N \left(\frac{y_i -m}{\sigma_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^N w_i \left(y_i - m\right)^2

où les w_i = 1 / \sigma_i^2 sont les poids des mesures yi.

Cette quantité est une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient...) définie positive. Son minimum se calcule par différenciation : grad?2(m) = 0. Cela donne la formule classique :

m = \frac{\sum_{i=1}^N w_i y_i}{\sum_{i=1}^N w_i}

Autrement dit, l'estimateur par moindres carrés de la moyenne m d'une série de mesures entachées d'erreurs gaussiennes (connues) est leur moyenne pesée, i.e. leur moyenne empirique dans laquelle chaque mesure est pondérée par l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) du carré de son incertitude. Le théorème de Gauss-Markov garantit qu'il s'agit du meilleur estimateur non-biaisé de m.

La moyenne estimée m fluctue en fonction des séries de mesures yi effectuées. Comme chaque mesure est affectée d'une erreur aléatoire, on concoit que la moyenne d'une prèmiere série de N mesures diffèrera de la moyenne d'une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure...) série de N mesures, même si celles-ci sont réalisées dans des conditions identiques. Il importe de pouvoir quantifier l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) de telles fluctuations, car cela détermine la precision de la détermination de la moyenne m. Chaque mesure yi peut être considérée comme une réalisation d'une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur donnée ou qu'elle prenne une...) Yi, de moyenne \overline{y_i} et de d'écart-type ?i. L'estimateur de la moyenne obtenu par la méthode des moindres carrés, combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de variables aléatoires, est lui-même une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une...) aléatoire :

M = \frac{\sum_{i=1}^N w_i Y_i}{\sum_{i=1}^N w_i}.

L'écart-type des fluctuations de M est donné par (combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes):

\sigma(M) = \left(\sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1/2} = \left(\sum_{i=1}^N w_i\right)^{-1/2}

Sans grande surprise, la précision de la moyenne d'une série de N mesures est donc déterminée par le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de mesures, et la précision de chacune de ces mesures. Dans le cas où chaque mesure est affectée de la même incertitude ?i = ? la formule précédente se simplifie en :

\sigma(M) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

La précision de la moyenne s'accroit donc comme la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) du nombre de mesures. Par exemple, pour doubler la précision, il faut quatre fois plus de données ; pour la multiplier par 10, il faut 100 fois plus de données.

Régression linéaire

Ajustement d'un modèle de type y = a * x + b par la méthode des moindres carrés. Les données suivent la loi figurée en pointillés et sont affectées d'erreurs gaussiennes, de variance 1. L'ajustement déterminé (courbe rouge) est le meilleur estimateur de la pente et de l'ordonnée à l'origine compte tenu de la quantité d'information contenu dans les points de mesure.
Ajustement d'un modèle de type y = a * x + b par la méthode des moindres carrés. Les données suivent la loi figurée en pointillés et sont affectées d'erreurs gaussiennes, de variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) 1. L'ajustement déterminé (courbe rouge) est le meilleur estimateur de la pente et de l'ordonnée à l'origine compte tenu de la quantité d'information contenu dans les points de mesure.

Un autre exemple est l'ajustement d'une loi linéaire du type y = ?x + ? sur des mesures indépendantes, fonction d'un paramètre connu x. Ce type de situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le...) se rencontre par exemple lorsque l'on veut calibrer un appareil de mesure simple (ampèremètre, thermomètre) dont le fonctionnement est linéaire. y est alors la mesure instrumentale (déviation d'une aiguille, nombre de pas d'un ADC, ...) et x la grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou phénomène particulier de la physique. Par...) qu'est censé mesurer l'appareil, généralement mieux connue, si l'on utilise une source de calibration fiable. La méthode des moindres carrés permet alors de mesurer la loi de calibration de l'appareil, d'estimer l'adéquation de cette loi aux mesures de calibration (i.e. dans le cas présent, la linéarité de l'appareil) et de propager les erreurs de calibration aux futures mesures effectuées avec l'appareil calibré. À noter qu'en général, les erreurs (et corrélations) portant sur les mesures yi et les mesures xi doivent être prises en compte. Nous traiterons ce cas dans la section suivante.

La prescription des moindres carrés s'écrit pour ce type de modèle:

\chi^2(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{y_i - \alpha x_i - \beta}{\sigma_i} \right)^2 = \sum_{i=1}^N w_i \left(y_i - \alpha x_i - \beta \right)^2

Le minimum de cette expression est atteint pour grad?2 = 0, ce qui donne:

\begin{pmatrix} \sum w_i x_i^2 & \sum w_i x_i \\ \sum w_i x_i   & \sum w_i \\ \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} \alpha_{min} \\ \beta_{min} \\ \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \sum w_i x_i y_i \\ \sum w_i y_i \\ \end{pmatrix}

La détermination des paramètres "optimaux" (au sens des moindres carrés) ? et ? se ramène donc à la résolution d'un système d'équations linéaires. Il s'agit là d'une propriété très intéressante, liée au fait que le modèle lui-même est linéaire. On parle d'ajustement ou de régression linéaire. Dans le cas général, la détermination du minimum du ?2 est un problème plus compliqué, et généralement coûteux en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de calcul (cf. sections suivantes).

La valeur des paramètres ?min et ?min dépend des mesures yi réalisées. Comme ces mesures sont entachées d'erreur, on conçoit bien que si l'on répète M fois les N mesures de calibration, et que l'on réalise à l'issue de chaque série l'ajustement décrit plus haut, on obtiendra M valeurs numériquement différentes de ?min et ?min. Les paramètres de l'ajustement peuvent donc être considérés comme des variables aléatoires, dont la loi est fonction du modèle ajusté et de la loi des yi.

On montre que la dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel...) qui affecte les valeurs de ?min et ?min dépend du nombre de points de mesure, N, et de la dispersion qui affecte les mesures (moins les mesures sont précises, plus ?min et ?min fluctueront). Par ailleurs, ?min et ?min ne sont généralement pas des variables indépendantes. Elles sont généralement corrélées, et leur corrélation dépend du modèle ajusté (nous avons supposé les yi indépendants).

Ajustement d'un modèle linéaire quelconque

Un modèle f(x;?) est linéaire, si sa dépendance en ? est linéaire. Un tel modèle s'écrit :

f(x;\theta) = \sum_{k=1}^n  \theta_k \phi_k(x)

où les ?k sont n fonctions quelconques de la variable x. Un tel cas est très courant en pratique: les deux modèles étudiés plus haut sont linéaires. Plus généralement tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) modèle polynomial est linèaire, avec ?k(x) = xk. Enfin, de très nombreux modèles utilisés en sciences expérimentales sont des développement sur des bases fonctionnelles classiques (splines, base de Fourier, bases d'ondelettes etc.)

Si nous disposons de N mesures, (xi,yi,?i), le ?2 peut être écrit sous la forme :

\chi^2(\mathbf{\theta}) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2} \left(\sum_{k=1}^n \theta_k \phi_k(x) -y_i \right)^2

Nous pouvons exploiter la linéarité du modèle pour exprimer le ?2 sous une forme matricielle plus simple. En effet, en définissant :

\mathbf{J} = \begin{pmatrix}                         \phi_1(x_1) & \ldots & \phi_n(x_1) \\                         \vdots      &        & \vdots \\                         \phi_1(x_N) & \ldots & \phi_n(x_N) \\                       \end{pmatrix} \ \ \ \ \            \mathbf{\theta} = \begin{pmatrix}                        \theta_1 \\                        \vdots \\                        \theta_n \\                       \end{pmatrix} \ \ \ \            \mathbf{y} = \begin{pmatrix}                        y_1 \\                        \vdots \\                        y_N \\                        \end{pmatrix}\ \ \ \ {\rm et}\ \ \            \mathbf{W} = \begin{pmatrix}                        \frac{1}{\sigma_1^2} & \ldots & 0 \\                        \vdots             & \ddots & \vdots \\                        0                  & \ldots & \frac{1}{\sigma_N^2}\\                        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}                        w_1 & \ldots & 0 \\                        \vdots & \ddots & \vdots \\                        0 & \ldots & w_N \\                        \end{pmatrix}

on montre facilement que le ?2 s'écrit sous la forme:

\chi^2(\mathbf{\theta}) = (\mathbf{J\theta} - \mathbf{y})^T \mathbf{W} (\mathbf{J\theta} - \mathbf{y})

La matrice J est appelée matrice jacobienne du problème. C'est une matrice rectangulaire, de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) N x n, avec généralement N >> n. Elle contient les valeurs des fonctions de base ?k pour chaque point de mesure. La matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être...) W est appelée matrice des poids. C'est l'inverse de la matrice de covariance (Pour le principe physique, voir Principe de covariance générale.) des yi. On montre que si les yi sont corrélés, la relation ci-dessus est toujours valable. W n'est simplement plus diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés...), car les covariances entre les yi ne sont plus nulles.

En différentiant la relation ci-dessus par rapport à chaque ?k, on obtient :

{\rm grad}\ \chi^2(\mathbf{\theta}) = 2\ \mathbf{J}^T \mathbf{W J \theta} - 2\ \mathbf{J}^T \mathbf{Wy}

et le minimum du ?2 est dont atteint pour ?min égal à :

\theta_{min} = \left(\mathbf{J}^T \mathbf{WJ}\right)^{-1}\ \mathbf{J}^T \mathbf{Wy}

On retrouve la propriété remarquable des problèmes linéaires, qui est que le modèle optimal peut-être obtenu en une seule operation, à savoir la résolution d'un système n \times n.

Ajustement de modèles non-linéaires

Dans de nombreux cas, la dépendance du modèle en ? est non-linéaire. Par exemple, si f(x;?) = f(x;(A,?,?)) = Acos(?x + ?), ou f(x;?) = f(x;?) = exp( ? x / ?). Dans ce cas, le formalisme décrit à la section précédente ne peut pas être appliqué directement. L'approche généralement employée consiste alors à partir d'une estimation de la solution, à linéariser le ?2 en ce point, résoudre le problème linéarisé, puis itérer. Cette approche est équivalente à l'algorithme de minimisation de Gauss-Newton. D'autres techniques de minimisation existent. Certaines comme l'Algorithme de Levenberg-Marquardt, sont des raffinements de l'algorithme de Gauss-Newton. D'autres sont appliquables lorsque les dérivées du ?2 sont difficiles ou couteuses à calculer.

Une des difficultés des problèmes de moindres carrés non-linéaires est l'existence fréquente de plusieurs minimas locaux. Une exploration (L'exploration est le fait de chercher avec l'intention de découvrir quelque chose d'inconnu.) systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un...) de l'espace des paramètres peut alors se révéler nécessaire.

Ajustement sous contraintes

Ajustement de modèles implicites

Interprétation statistique

Le critère du ?²

Optimalité de la méthode des moindres carrés

Robustesse

Sensibilité aux points aberrants

Techniques de robustification

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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