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Diagramme de Venn

Les diagrammes de Venn et les diagrammes d'Euler sont des représentations schématiques d'ensembles, de relations logiques ou mathématiques.

Diagrammes de Venn, Euler et Johnston

Considérons C={C1, ?, Cn}, un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) de courbes fermées simples du plan. C est un diagramme de Venn (Les diagrammes de Venn et les diagrammes d'Euler sont des représentations schématiques d'ensembles, de relations logiques ou mathématiques.), ou un n-diagramme de Venn, si toutes les intersections d'une région intérieure (ou extérieure) délimitée par une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments,...), avec une région intérieure (ou extérieure) délimitée par une autre courbe sont non vides et connexes, et si de plus il n'y a qu'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de telles intersections.

Soit C={C1, ?, Cn}, un ensemble de courbes fermées simples du plan. C est un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans...) d'Euler, si toutes les intersections d'une région intérieure (ou extérieure) délimitée par une courbe, avec une région intérieure (ou extérieure) délimitée par une autre courbe sont connexes, et si de plus il n'y a qu'un nombre fini de telles intersections.

La différence entre un diagramme d'Euler et un diagramme de Venn réside uniquement dans la possibilité, pour des intersections de régions délimitées par les courbes, d'être vides. Un diagramme de Venn est donc un cas particulier de diagramme d'Euler.

Les diagrammes de Venn, de Johnston, et d'Euler peuvent sembler identiques en apparence. Leurs différences apparaissent dans leurs domaines d'application suivant le type d'ensemble qui doit être partitionné.

Les diagrammes de Johnston sont adaptés à la représentation des valeurs de vérité des propositions logiques, tandis que les diagrammes d'Euler servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à illustrer des ensembles spécifiques d'objets et les diagrammes de Venn sont généralement utilisés pour mettre en évidence de possibles relations.

En analyse des syllogismes, les régions des diagrammes de Venn sont coloriées lorsqu'elles ne contiennent pas d'élément et de cette façon ils permettent de représenter tous les systèmes d'ensembles, ce qui est plus difficile avec des diagrammes d'Euler compte tenu du fait que les régions ne contenant pas d'élément ne sont pas représentées.

En fait, Euler a essayé de montrer les rapports entre des ensembles spécifiques, tandis que Venn a voulu représenter tous les partitionnements possibles des ensembles.

Ces concepts de diagramme d'Euler et de Venn, n'ont pas été " unifiés " et attribués à Euler, probablement parce qu'Euler a introduit ses diagrammes 100 années plus tôt, et était déjà l'auteur de beaucoup de travaux.

Représentations graphiques de diagrammes de Venn

La difficulté consiste souvent à trouver une représentation graphique agréable d'un diagramme de Venn. Rappelons qu'un diagramme de Venn à n ensembles doit partager le plan en 2n zones, c'est-à-dire 4 zones pour 2 ensembles, 8 pour trois ensembles, 16 pour quatre...

Autant il est simple de représenter un diagramme de Venn à deux ensembles (deux courbes fermées) ou même à trois (trois cercles de rayon R dont les centres forment un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) équilatéral de côté R), autant la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le...) se complique pour la représentation d'un diagramme de Venn à quatre ensemble, voire 5. Venn lui même n'a jamais été satisfait de sa représentation de 5 ensembles. Il faut attendre près d'un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...) avant que le généticien et statisticien A.W.F. Edwards n'en propose une représentation élégante dans son livre Cogwheels of the Mind

Diagramme de Venn à trois ensembles Diagramme de Venn à quatre ensembles
Diagramme de Venn à cinq ensembles Diagramme de Venn à six ensembles
Ref: Ian Stewart Another Fine Math You've Got Me Into 1992 ch4
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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