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Georg Cantor
Georg Cantor.
Georg Cantor.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de...) entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont " plus nombreux " que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor (Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles, qui doit son nom au mathématicien Georg Cantor.) implique l'existence d'une " infinité d'infinis ". Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie...). Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique( ce dont il était parfaitement conscient) qui a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Cantor a été confronté à la résistance de la part de mathématiciens contemporains, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...) en tant que totalité achevée[1]. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...), de 1884 à la fin de sa vie (La vie est le nom donné :), ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès peuvent à présent être interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire (Le trouble bipolaire est une catégorie des troubles de l'humeur, anciennement nommé PMD (Psychose maniaco-dépressive) ou MMD (maladie maniaco-dépressive). Ce trouble est...).

Au XXIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...), la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par les mathématiciens. La grande majorité d'entre eux, qui ne sont ni constructivistes, ni finitistes, acceptent sans réserve les résultats de Cantor sur les ensembles et reconnaissent un changement de paradigme. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : " Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ".

Biographie

Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit...) était le fils de Georg Waldemar Cantor, un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction, l'homme prépubère est appelé un...) d'affaires danois, courtier à la bourse de St Pétersbourg et de Maria Anna Böhm, une femme de nationalité autrichienne. Cantor, violoniste remarquable, avait hérité de leur grand talent artistique et musical. Le père de Cantor, était un protestant luthérien très pratiquant. Sa mère, catholique à la naissance, se convertit au protestantisme au moment de son mariage. Georg Cantor fut donc élevé dans la foi luthérienne, foi qu'il conserva toute sa vie.

Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite à Francfort, cherchant des hivers moins glaciaux qu'à Saint Pétersbourg. En 1860, Cantor obtint un diplôme (Le diplôme (grec ancien :δίπλωµα, diploma signifiant « plié en deux ») est un acte écrit émanant généralement d'un organisme officiel,...) avec distinction à la Realschule de Darmstadt, où l'on remarqua ses performances exceptionnelles en mathématiques, notamment en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est...). En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich et entama des études de mathématiques.

En 1863, à la mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général, incluant par exemple...) de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa...) de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen, qui devint par la suite un grand centre de recherches mathématiques. En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ Doctor pour une thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à...) portant sur la Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis. Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor fut recruté par l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation (L'habilitation est la plus haute qualification universitaire qu'une personne puisse recevoir dans certain pays européens. Faisant suite à un doctorat, l'habilitation exige du candidat la rédaction d'une...) requise grâce à sa thèse.

En 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils eurent six enfants, le dernier étant né en 1886. Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de la famille malgré un modeste salaire académique grâce à l'héritage de son père. Pendant sa lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance moyenne séparant la Terre de la Lune est de 384 400 km...) de miel en Suisse, Cantor passa beaucoup de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) à des discussions mathématiques avec Richard Dedekind, dont il avait fait la connaissance deux ans auparavant lors d'un précédent voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est considérablement développé et démocratisé, au cours du XXe siècle avec...) en Suisse.

Cantor fut promu chargé de cours en 1872 et obtint une chaire en 1879. Atteindre le plus haut rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire...) à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré avoir une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Toutefois, Kronecker, qui se trouvait à la tête du secteur de mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891 et son collègue Hermann Schwarz ne souhaitaient pas avoir Cantor comme collègue. Pire : Kronecker, mathématicien réputé, était en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.). Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  : Le cardinal de E n'est pas un entier naturel. On dit que...) comme une entité, ce qui est à la base de la théorie des ensembles de Cantor. Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise,...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) satisfaisant à certaines propriétés devait donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) explicite d'un tel objet. Cantor en vint à croire que l'opposition de Kronecker l'empêcherait à jamais de quitter Halle.

En 1881, Édouard Heine, un collègue de Cantor de l'université de Halle décède, laissant une chaire inoccupée. Halle accepta la proposition de Cantor, selon laquelle la chaire pouvait être attribuée successivement à Dedekind, Heinrich Weber, et Franz Mertens, mais chacun déclina la chaire. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en œuvre de produits, de...) de faible niveau et portait une lourde charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un...) administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département allemand de mathématiques de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.

En 1884, Cantor souffrit de son premier accès de dépression. Cette crise émotionnelle le mena à donner des cours de philosophie, plutôt que de mathématiques. Chacune des 52 lettres que Cantor a écrites à Mittag-Leffler au cours de cette année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) attaquait Kronecker. Cantor se remit rapidement, mais un passage de l'une de ses lettres révèle une perte de confiance en lui-même :

...Je ne sais pas quand je pourrai retourner à la poursuite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien faire pour cela, et cela me limite à donner le strict nécessaire de mes cours ; ô combien voudrais-je être actif en sciences, si seulement j'avais la vivacité mentale nécessaire. "

Bien qu'il produisit quelques travaux de valeur après 1884, il ne retrouva pas le haut niveau de ses remarquables productions entre 1874 et 1884. Il proposa une réconciliation avec Kronecker, qui accepta sans réticences. Malgré tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.), le désaccord philosophique et les difficultés qui les divisaient persistèrent. On dit parfois que les accès dépressifs récurrents de Cantor ont été déclenchés par l'opposition de Kronecker à son travail. Les difficultés relationnelles de Cantor, les troubles de sa production mathématique, furent certainement exacerbées par sa dépression, mais on peut douter qu'elles en soient la cause.

En 1888, il publia ses correspondances avec plusieurs philosophes au sujet des implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Edmund Husserl fut un de ses collègues à Halle et un ami, entre 1886 et 1901. La réputation de Husserl s'est faite en philosophie, mais à l'époque il préparait un doctorat (Le doctorat (du latin doctorem, de doctum, supin de docere, enseigner) est généralement le grade universitaire le plus élevé. Le...) de mathématiques dirigé par Leo Königsberger, un étudiant de Weierstrass. Cantor écrivit aussi sur les implications théologiques de ses travaux en mathématiques ; il aurait identifié l'" infini absolu ", l'infini d'une classe propre comme celle de tous les cardinaux ou de tous les ordinaux, à Dieu.

Cantor croyait que Francis Bacon avait écrit les pièces attribuées à Shakespeare. Pendant sa période de maladie (La maladie est une altération des fonctions ou de la santé d'un organisme vivant, animal ou végétal.), en 1884, il entama une étude approfondie de la littérature élisabéthaine, dans le but de prouver cette thèse. Il publia finalement deux pamphlets, en 1896 et 1897, qui exposaient ses vues.

En 1890, Cantor participe à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Il en organise la première réunion à Halle en 1891 et en est élu président. Cela montre clairement que l'attitude de Kronecker n'a pas été fatale à sa réputation. Malgré l'animosité qu'il éprouvait pour Kronecker, Cantor l'invita à prendre la parole (La parole, c'est du langage incarné. Autrement dit c'est l'acte d'un sujet. Si le langage renvoie à la notion de code, la parole renvoie à celle de corps. La parole est singulière et opère un acte de...) lors de cette réunion ; Kronecker en fut incapable, car son épouse était à ce moment-là à l'article de la mort.

Après le décès de son plus jeune fils, en 1899, Cantor souffre d'une dépression chronique, qui le suivit jusqu'à la fin de sa vie, et pour laquelle il fut dispensé d'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un élève par le biais de communication verbale et...) à plusieurs reprises et enfermé de manière répétitive en sanatorium. Il n'abandonna pas complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations qu'il...) les mathématiques : il donne des cours sur les paradoxes de la Théorie des ensembles (attribués de manière éponyme à Burali-Forti, Russell, et Cantor lui-même) lors d'une conférence de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en 1903, et assiste au Congrès international des Mathématiciens à Heidelberg (Heidelberg est une ville d'Allemagne située dans la vallée du Neckar, au nord-ouest du Land de Bade-Wurtemberg. Le nom de "Heidelberg" provient peut-être de Heidelbeere qui veut dire myrtille en allemand (Heidelbeera en...) en 1904.

En 1903, il est lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society.

Cantor prit sa retraite en 1913 ; il souffrit de pauvreté et même de faim (La faim désigne la sensation, apparaissant après un certain temps sans manger, qui pousse un être vivant à rechercher de la nourriture.) au cours de la Première Guerre mondiale. La célébration publique de ses 70 ans fut annulée à cause de la guerre. Il mourut à l'hôpital (Un hôpital est un lieu destiné à prendre en charge des personnes atteintes de pathologies et des traumatismes trop complexes pour pouvoir être traités à domicile ou dans...) où il avait passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une...) la dernière année de sa vie.

?uvre

Cantor fut l'initiateur de la Théorie des ensembles, à partir de 1874. Certains, comme Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les...) avaient déjà remarqué qu'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) infini, comme les carrés des nombres entiers, pouvait être mis en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) avec un ensemble infini le contenant strictement, en l'occurrence tous les entiers. Il y a d'une certaine façon " autant " de carrés de nombres entiers que de nombres entiers. Cantor est le premier à donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) précis à cette remarque, à l'aide de la notion de bijection qu'il introduit (sous un autre nom) à l'occasion, puis à la systématiser. Par exemple Cantor montre qu'il y a autant de nombres rationnels, ceux représentés par des fractions, que de nombres entiers. Cantor va plus loin et découvre qu'il y a plusieurs infinis, au sens où ils ne peuvent être mis en correspondance entre eux par une bijection : il montre en 1874 que la droite réelle contient plus de nombres irrationnels (" beaucoup plus ") que de nombres rationnels, mais aussi que de nombres algébriques (solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers).

Cantor introduit la notion d'ensemble dénombrable (Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels , c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur  ;...) ou infini dénombrable : un ensemble qui peut être mis en bijection avec les nombres entiers, c?est-à-dire que l'on peut, d'un certaine façon, numéroter tous ses élements par des entiers (sans répétition mais ce n'est pas essentiel). Il montre que les ensembles des nombres entiers relatifs, des nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) rationnels, et des nombres algébriques sont tous dénombrables, mais l'ensemble des nombres réels ne l'est pas.

Il donne une preuve élégante et très courte de ce dernier résultat en 1891, où il utilise ce qui est connu maintenant comme l'argument diagonal (Dans les preuves mathématiques, notamment celles de logique mathématique, l'argument diagonal est un mécanisme de construction réflexive menant le plus souvent à une impossibilité. Une...) de Cantor, et qui a été depuis très utilisé, en particulier en logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux...) et en théorie de la calculabilité (La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est une branche de la logique mathématique et de l'informatique théorique. Alors...). Il utilise cet argument pour montrer que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble A, appelé ensemble des parties de A, a strictement plus d'éléments que A, même si A est infini, c?est-à-dire que ces deux ensembles ne peuvent être mis en bijection. Cette proposition est aujourd'hui appelée Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) de Cantor. Elle a pour conséquence, l'existence d'une hiérarchie stricte d'ensembles infinis.

Pour étudier l'infini, Cantor introduit deux notions de nombres et leur arithmétique particulière (somme, produit ...). La première est celle de nombre cardinal (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de...), qui caractérise une classe d'ensembles pouvant être mis en bijection. Le plus petit nombre cardinal infini est celui des entiers naturels, le dénombrable. Le cardinal des nombres réels, ou de façon équivalent de l'ensemble des sous-ensembles des entiers naturels, est la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu. Cantor introduit la lettre hébraïque ? (aleph) pour désigner les cardinaux, notation toujours en usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) aujourd'hui. Ainsi le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est noté ?0 (lire aleph zéro). La puissance du continu est un cardinal forcément supérieur ou égal au cardinal suivant immédiatement le dénombrable, que l'on note ?1. Cantor supposait que c'était ?1, c'est l'hypothèse du continu.

La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. ...) est celle de nombre ordinal (En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux. En mathématiques, cette notion est étendue pour « mesurer l'étendue » d'un ensemble...), qui généralise les entiers en tant qu'ils sont ordonnés. Il utilise pour cela la notion de bon ordre, qu'il introduit en 1883. Cantor note les ordinaux avec des lettres grecques, le plus petit ordinal infini, celui de l'ensemble des entiers naturels, est noté ?0 (aujourd'hui simplement ?). Pour les nombres cardinaux il utilise en fait un ordinal en indice de la lettre ?.

Les dix premières productions de Cantor portaient sur la Théorie des nombres, le sujet de sa thèse. Suivant la suggestion du professeur Édouard Heine, Cantor s'oriente vers l'analyse. Heine propose à Cantor de résoudre un problème dont la solution échappait à Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann et Édouard Heine lui-même : l'unicité de la représentation d'une fonction par une série de Fourier (En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé la branche des mathématiques...). Cantor résou ce problème difficile en 1869. Entre 1870 et 1872, Cantor publie d'autres travaux sur les séries trigonométriques, incluant une définition des nombres irrationnels comme des suites convergentes de nombres rationnels. C'est l'une des deux constructions usuelles des nombres réels. Dedekind, avec qui Cantor s'est lié d'amitié en 1872, cite ce travail dans la publication contenant sa propre construction des nombres réels (Il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux méthodes les plus rigoureuses sont), à partir de ce que l'on appelle maintenant les coupures de Dedekind.

La publication de Cantor de 1874, "Sur une propriété caractéristique de tous réels algébriques", est celle qui a marquée la naissance de sa Théorie des ensembles. Elle a été publiée dans le Journal de Crelle, malgré l'opposition de Kronecker et grâce au soutien de Dedekind. C'est dans celle-ci qu'il prouve que les nombres réels ne sont pas dénombrables, en utilisant une preuve plus complexe que le remarquablement élégant argument diagonal, célèbre à juste titre, qu'il établit en 1891.

La publication de 1874 montre alors que les nombres algébriques, c?est-à-dire les racines d'équations polynomiales à coefficients entiers, sont dénombrables. Les nombres réels qui ne sont pas algébriques sont transcendants. Liouville avait établi l'existence de nombres transcendants en 1851. Cantor ayant démontré que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, et que l'union de deux ensembles dénombrables doit être dénombrable, et comme un nombre réel est soit algébrique, soit transcendant, l'ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable. Il y a en fait autant de nombres transcendants que de nombres réels. On en déduit une preuve très simple d'un théorème, dû à Liouville, selon lequel il y a une infinité de nombres transcendants dans chaque intervalle.

Notes

  1. ? Ces réserves furent reprises plus tard, par Brouwer et dans une moindre mesure Weyl. Wittgenstein avait également des objections de fond.

Bibliographie

  • 1872 ? Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor [1932 p92-102]).
  • 1874 ? Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262, (Cantor [1932, p115-118]).
  • 1878 ? Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor [1932, p119-133]).
  • 1879
    • a ? Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor [1932, p134-138]).
    • b ? Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor [1932 p139-145]).
  • 1880 ? Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor [1932 p145-148]).
  • 1882 ? Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor [1932 p149-157]).
  • 1883
    • a ? Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor [1932 p157-164)].
    • b ? Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemein Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor [1932 p165-208]).
      • bfr ? Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, pp. 35-52, le Seuil, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de...) 1969.
  • 1884 ? Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor [1932 p210-246]).
  • 1887-1888 ? Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor [1932, p378-439]).
  • 1890 ? Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor [1932, p370-439]).
  • 1891 ? Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p.75-78 (Cantor [1932 p278-281]).
    • fr - Traduction et introd. H. Sinac?ur Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) et fondements des mathématiques (Cet article discute des fondements des mathématiques. Le problème de la fondation, ou des fondements, des mathématiques est celui des principes et de leur...), Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.
  • 1895-1897 ? Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor [1932, p282-356]).
    • fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 1989. Disponible sur http://gallica.bnf.fr .
  • 1905 ? Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.
  • 1932 ? Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. -88mb! , éd. par Ernst Zermelo. Presque tous les écrits de Cantor (en Allemand).
  • Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques. Paris, Hermann, 1962, p. 179-250.
Signalons aussi le document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une information.) électronique disponible sur le site de la BNF ((lien)) qui rassemble la majorité des ?uvres de Cantor traduites en français : (lien), (lien), (lien), (lien), (lien), (lien), [1883a], [1883b], (lien). Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d?autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac pour plus de détails.
Ces deux articles sont les principales sources de la version anglaise, et donc de celle-ci.
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