Pendule simple de longueur variable - Définition

La charge soulevée par une grue est un pendule simple de longueur variable l(t). En considérant simplement les petites oscillations, pour raison de simplicité, on peut montrer que descendre la masse réduit l'oscillation (a contrario, lever la masse amplifie l' oscillation).

Une calcul plus délicat s'impose pour effectuer le bilan d'énergie.

Equation du mouvement

Le fil supportant la masse m est de masse négligeable , sans raideur et inextensible. Sa longueur est l(t) = OM ,O étant fixe.

Le théorème du moment cinétique appliqué en O donne :

, soit

 , soit

Interprétation

Le deuxième terme de l'équation se comporte comme une résistance positive si l(t) augmente, et a contrario, comme une résistance négative si l(t) diminue.

Malheureusement ce raisonnement, souvent lu dans de la bonne littérature, est FAUX, car la pulsation n'est pas constante, et l'on sait bien qu'en changeant de fonction inconnue on peut modifier à son gré le terme "dit de résistance".

Maintenir cette erreur conduirait aisément à une décroissance de l'amplitude en 1/l(t), ce qui est faux pour l(t) lentement variable : on trouve l³.theta^4 = cste , ce qui n'a rien d'intuitif!

Bien sûr il convient de faire le bilan énergétique du système : comment de l'énergie a-t-elle été transferée au degré d'oscillation , via l'allongement de l(t)?

Bien entendu, on peut très classiquement faire disparaître le terme de résistance par changement de jauge : on choisit l'arc AM = lθ := x , comme nouvelle inconnue et l'on trouve :

Dès lors,

• Si l(t) varie lentement la méthode WKB donne la solution  : voir le pendule adiabatique.L'amplitude de x(t) croît comme sqrt(sqrt(l(t))).

• Si l(t) = lo + v.t , alors l'équation devient une équation de Bessel : voir le pendule de Bessel. On pourrait sans doute attaquer le problème avec les fonctions d'Airy.

• Si l" = g , on reste intrigué, avec une attitude circonspecte.

Bref, il faut faire le calcul!

Bilan d'énergie

On appelle U la quantité :

et V : = U +mgl ; W : = V -1/2 m l'²

Quand on veut dire que de l'énergie a été transférée, il faudra bien distinguer entre U, V et W . Soit aussi x = l .theta , son énergie cinétique n'est pas 1/2 m l² (theta')²: il faut donc être assez pointilleux.

Soit T la tension du fil que tient l'expérimentateur. Puique la perle de céramique en O est considérée sans frottement , le travail fourni au système est -T dl/dt=dU/dt.

Soit donc à vérifier que (mg-T)dl/dt = dV/dt.

On notera A l'élongation:

mg -T = ml" +mg(1-cosA)- mlA'² : on peut vérifier la pertinence de chaque terme.

Il reste à vérifier que dW/dt = m ( g(1-cosA)-lA'²)l' ?

La masse se simplifie ( principe de Galilée); il reste

1/m dW/dt = d/dt [gl(1-cosA) + 1/2 (lA')²] à calculer , soit

g(1-cosA)l' +lA'²l' +A'[gl sinA +l²A"]; or le dernier crochet vaut non pas zéro, mais: -2.ll'A', compte-tenu de l'équation différentielle du mouvement.

IL Y A BIEN CONSERVATION DE L'ÉNERGIE.

Si l'on considère le mouvement lent, on retrouve les résultats du pendule adiabatique :W~(lA)²/l varie comme 1/sqrt(l)

Autre interprétation

Au lieu de laisser filer le fil au travers de la perle située en O, on peut au contraire élever la perle en A , l(t) =OA(t) avec une vitesse dl/dt. L'analyse est la même à condition de se placer dans le référentiel accéléré R ( origine A) où la pesanteur apparente est simplement g +l". L'équation en x(t) se simplifie encore !