L'heureux mariage du calcul formel et de l'optimisation

Publié par Redbran le 10/12/2019 à 14:00
Source: CNRS INS2I

En bleu: frontière de la forme à reconstruire ; en noir: fonction de répartition de la densité.
Alliant optimisation et calcul formel, Florent Bréhard, Mioara Joldes et Jean-Bernard Lasserre du Laboratoire d'Analyse et d'Architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) des Systèmes (LAAS-CNRS) développent des algorithmes permettant la reconstruction de formes à partir de données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.), appelées moments. Ces travaux leur ont valu le prix du Distinguished Paper Award lors de la conférence ISSAC de l'été 2019. Retour sur cette distinction.

L'amélioration des algorithmes utilisés dans la reconstruction de volumes constitue un progrès pour les nombreuses technologies qui y ont recours, comme l'imagerie médicale (L'imagerie médicale regroupe les moyens d'acquisition et de restitution d'images à partir de différents phénomènes physiques (Résonance magnétique, réflexion d'ondes ultrasons,...). Mioara Joldes et Jean-Bernard Lasserre du Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes du CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).) (LAAS-CNRS), ainsi que Florent Bréhard, ancien doctorant (Un doctorant est un chercheur débutant s'engageant, sous la supervision d'un directeur de thèse, dans un projet de recherche sur une durée variable selon les pays et les statuts, comprenant la rédaction...) du LAAS-CNRS et de l'ENS Lyon, et actuellement post-doctorant en Suède à l'université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission...) d'Uppsala, ont obtenu le prix du Distinguished PaperAward pour leur nouvelle approche dans le domaine, fondée sur la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou...) des fonctions holonomiques. Il leur a été remis au mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.) de juillet lors de l'International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC) à Pékin (Pékin (ou Beijing) (?? ; pinyin : B?ij?ng   Écouter la prononciation en mandarin , « la capitale du nord ») est la capitale et l'un des centres culturels de la...).

Méconnues du grand public mais très prisées en calcul formel (Le calcul formel est un procédé de transformation d'expressions mathématiques.), les fonctions holonomiques sont les solutions des équations différentielles (1) dont les coefficients sont des polynômes. Cette propriété particulière permet de les représenter et de les manipuler de manière exacte, grâce à des algorithmes efficaces.

"Environ 60 % des fonctions de l'ouvrage de référence Handbook of Mathematical Functions (2) sont holonomiques, affirme Mioara Joldes. Les chercheurs en calcul formel développent des algorithmes pour les calculer de manière uniforme et en obtenant une réponse exacte. Cela évite les risques d'erreurs en parcourant un livre et en recopiant des tables de valeurs. "

L'originalité du travail du trio de scientifiques réside dans l'alliance de deux mondes distincts.,

Si Jean-Bernard Lasserre est réputé pour ses travaux en optimisation, Mioara Joldes et son ancien doctorant Florent Bréhard traitent du calcul formel. Leur publication primée, On moment problems with holonomic functions, présente un nouvel algorithme permettant la reconstruction de formes à partir de données non spatiales, appelées moments. À titre d'exemple, des appareils comme un tomographe ou une IRM ne relèvent en effet pas des positions sur l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) étudié, mais des informations sur la façon dont celui-ci réagit lorsqu'il est soumis à une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière....) émise par la machine. En multipliant les mesures à des fréquences différentes, on obtient suffisamment de moments pour procéder à la reconstruction.

Dans l'algorithme proposé, la théorie des fonctions holonomiques permet de remonter à la forme produisant de tels moments, qui est celle de l'objet étudié. La nouveauté de ces travaux tient dans le fait qu'ils fonctionnent également si la cible n'est pas uniformément dense et que, au-delà de leur seule forme, ses parties ne répondent pas toutes de la même manière à la sollicitation. Ces variations de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) sont alors elles aussi mesurées et fidèlement reproduites.

"Ce prix donne une visibilité à l'étude des problèmes de moments avec des outils issus du calcul formel, se félicite Mioara Joldes. Nous avons montré que des objets algébriques pouvaient avoir un intérêt pour une reconstruction numérique efficace." Présentés à la conférence ISSAC, ces algorithmes ouvrent la voie à des travaux complémentaires.

Les instruments physiques produisent par exemple des mesures forcément sujettes à une marge d'erreur, qui impacte les moments et donc la fidélité de la forme reconstruite. Les chercheurs vont donc continuer à utiliser des outils du calcul formel et de l'analyse numérique pour étudier ces aspects et proposer d'autres applications potentielles.


À gauche = En noir: frontière de la vraie forme ; en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie...): reconstruction numérique à partie de moments mesurés avec faible précision. | À droite = En bleu: frontière de la forme à reconstruire ; en noir: fonction de répartition (En théorie des probabilités ou en statistiques, la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle caractérise la loi de probabilité de cette variable aléatoire réelle. La fonction...) de la densité.

Références:
Florent Bréhard, Mioara Joldes, Jean-Bernard Lasserre. On Moment Problems with Holonomic Functions. ISSAC 2019 - 44th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Jul 2019, Pékin, China. pp.66-73. ⟨hal-02006645⟩

Notes:
(1) Les équations différentielles sont des équations mettant en relation une fonction inconnue à déterminer avec ses taux d'accroissement, que l'on appelle dérivées.
(2) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, à l'origine sous la direction de Milton Abramowitz et Irene Stegun.


Contacts:
- Jean-Bernard Lasserre - Directeur de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...) CNRS au LAAS-CNRS - lasserre at laas.fr
- Mioara Joldes - Chargée de recherche CNRS au LAAS-CNRS - mmjoldes at laas.fr
- Florent Bréhard - Post-doctorant en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) à l'Université d'Uppsala (Suède) - florent.brehard at math.uu.se
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