Factorisation des polynômes - Définition

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On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif \mathbb{K}. On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme d'un produit de polynômes dont les degrés sont strictement inférieurs à celui de P.

Un polynôme n'admettant pas de factorisation (au sens précédent) est dit irréductible ; c'est notamment le cas des polynômes de degré 1. Un théorème classique est l'existence, sur un anneau factoriel, pour tout polynôme non irréductible, d'une factorisation en produit de polynômes irréductibles ; cette factorisation est essentiellement unique, à permutation près des facteurs et aux inversibles près.

Des algorithmes de factorisation des polynômes à coefficients dans les corps finis sont connus, par exemple l'algorithme de Berlekamp.

Cas usuels

Deux cas fréquents sont ceux des polynômes à coefficients dans \ \R et des polynômes à coefficients dans \ \mathbb{C}.

  • Les seuls polynômes irréductibles de \ \mathbb{C}[X] sont les polynômes de degré 1 : tout polynôme de degré n à coefficients complexes peut se factoriser dans \ \mathbb{C}[X] en produit de n polynômes du premier degré. C'est le théorème fondamental de l’algèbre, ou théorème de d'Alembert-Gauss.
  • Les polynômes irréductibles de \ \R[X] sont de deux sortes : les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 sans racines réelles : tout polynôme P à coefficients réels peut se factoriser dans \ \R[X] en produit de polynômes de degré 1 (dont les racines sont les racines réelles de P) et / ou de polynômes de degré 2 sans racines réelles (dont les racines, deux à deux conjuguées dans \ \mathbb{C}, sont les racines non réelles de P).

Exemples

Considérons le polynôme X^4-1 \, à coefficients dans \ \R ou \mathbb{C}.

X^4-1=(X^2+1)(X^2-1) \,
puis :
\ X^4-1=(X^2+1)(X-1)(X+1).
Ceci est la factorisation en produit de facteurs irréductibles à coefficients dans \ \R.
  • La factorisation en produit de facteurs irréductibles à coefficients dans \mathbb{C} est :
\ X^4-1 = (X+i)(X-i)(X-1)(X+1).
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