On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif . On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme d'un produit de polynômes dont les degrés sont strictement inférieurs à celui de P.
Un polynôme n'admettant pas de factorisation (au sens précédent) est dit irréductible ; c'est notamment le cas des polynômes de degré 1. Un théorème classique est l'existence, sur un anneau factoriel, pour tout polynôme non irréductible, d'une factorisation en produit de polynômes irréductibles ; cette factorisation est essentiellement unique, à permutation près des facteurs et aux inversibles près.
Des algorithmes de factorisation des polynômes à coefficients dans les corps finis sont connus, par exemple l'algorithme de Berlekamp.
Deux cas fréquents sont ceux des polynômes à coefficients dans et des polynômes à coefficients dans .
Considérons le polynôme à coefficients dans ou .