Espace topologique - Définition

En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques. La branche des mathématiques qui étudie ces espaces s'appelle la topologie.

La notion d'espace topologique est une définition axiomatique, formalisée par une structure ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités.

Cet article est technique, une vision générale et historique est donnée dans Topologie.

Concepts

Définitions

• Un espace topologique est un couple , où est un ensemble et un ensemble de parties de que l'on appelle les ouverts de , vérifiant les propriétés suivantes :

1. L'ensemble vide et sont ouverts ;
2. Toute réunion d'ouverts est un ouvert,

   i.e. si est une famille d'éléments de , alors  ;

3. Toute intersection de deux ouverts est un ouvert,

   i.e. si et sont deux éléments de , alors .

• L'ensemble est appelée topologie de .

Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.

• Les fermés d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent, la famille des fermés contient et l'ensemble vide.

Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection de fermés est un fermé, et que toute réunion finie de fermés est un fermé.

• Il est d'usage de rappeler la présence de la partie vide à l'axiome 1 ; c'est toutefois en bonne rigueur superflu, puisqu'on peut l'obtenir en appliquant l'axiome 2 à la réunion indexée par l'ensemble vide.

• Un des premiers rôles de la topologie est de décrire les voisinages des points. C'est une notion-clé pour comprendre la topologie. Elle sert par exemple à la définition de continuité ou de limite en un point. Cette notion est formalisée dans l'article voisinage. Rappelons ici simplement qu'une partie de est un voisinage d'un point si et seulement si elle contient un ouvert contenant ce point.

Exemples

• Un exemple simple est . Tous les singletons sont des ouverts, tous les points sont donc isolés les uns des autres. La topologie ainsi définie est appelée topologie discrète. Plus généralement, la topologie discrète sur un ensemble est celle pour laquelle .
  En contrepartie de la simplicité, elle n'offre pas beaucoup d'intérêt.

• Autre exemple sans intérêt : la topologie grossière sur est celle pour laquelle les seuls ouverts sont la partie vide et lui-même.

• Un exemple plus intéressant sur les entiers est où désigne le filtre de Fréchet, c'est-à-dire tous les complémentaires d'ensembles finis et l'ensemble vide. Cette topologie donne un sens au voisinage de l'infini et permet par exemple de définir la notion de limite d'une suite.

• L'article sur les voisinages démontre qu'il existe une topologie associée à tout espace métrique. Un ouvert est alors un ensemble qui contient pour chaque point de une boule ouverte de centre .

• L'ensemble des nombres réels est donc muni naturellement d'une topologie issue de sa distance. Un ouvert est alors une union d'intervalles ouverts.

• La topologie induite d'un sous-ensemble d'un ensemble est la topologie obtenue par intersection des ouverts de avec . Cette définition permet par exemple de définir la topologie induite par celle de sur un intervalle, et ainsi de pouvoir définir les propriétés de continuité et de limite à des fonctions définies sur un intervalle de .

• D'autres exemples de topologies plus sophistiquées sont donnés dans l'article voisinage.

• Le cube de Hilbert est une généralisation du cube en dimension infinie.

• L'ensemble de Cantor est source de nombreux exemples et contre-exemples.

Applications continues

Définitions

Un des premiers intérêts de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir une application continue. Il existe deux approches, l'approche locale donnée dans l'article voisinage et qui définit la continuité en un point, et l'approche globale qui définit la continuité en tout point.

• Définition globale. Une application de entre deux espaces topologiques est dite continue si l'image réciproque de tout ouvert de est un ouvert de (l'image réciproque est l'ensemble de tous les points de que envoie dans ).

• Définition locale. Soit une fonction d'un espace topologique dans et soit un point élément du domaine de définition de . La fonction est continue au point si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert contenant contient un ouvert contenant . Cet énoncé est équivalent à celui donné dans l'article voisinage.

• Équivalence de la continuité locale en tout point et de la continuité globale. Si une application est globalement continue l'image réciproque d'un ouvert contenant contient elle-même qui est un ouvert contenant . L'application est donc continue en tout point. Réciproquement, si l'application est continue en tout point alors son image réciproque contient pour chaque point un ouvert le contenant et inclus dans l'image réciproque. L'union de tous ses ouverts est par définition un ouvert et est égal à l'image réciproque. L'image réciproque est donc ouverte.

Une application bijective continue et dont la réciproque est continue est appelée un homéomorphisme.

La notion d'application continue est développée en détail dans l'article continuité.

Exemples

• L'application identité d'un espace topologique dans lui-même est continue. En effet l'image réciproque de tout ouvert est lui-même donc est ouvert.

• Une application constante d'un espace topologique dans un autre est continue. En effet l'image réciproque est soit l'ensemble vide soit l'ensemble de départ tout entier.

• l'application est continue. La preuve en est donnée dans l'article continuité.

Limite

Adhérence

Cette notion est développée dans un article spécifique Adhérence. Nous ne développerons cette notion que dans la mesure où elle est nécessaire pour formaliser la notion de limite.

En topologie l'adhérence d'une partie X d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé qui contient cette partie. On la note souvent .

Une autre façon de définir les espaces topologiques consiste à faire appel à la notion prétopologique d'adhérence : on définit une adhérence sur un ensemble E comme une application qui à toute partie A de E associe une partie contenant A, l'adhérence de la partie vide restant vide. Dans le cas où l'adhérence est idempotente et où l'adhérence de l'union de deux parties est égale à l'union des adhérences, on dit que l'adhérence est topologique. Un espace topologique peut se définir comme un ensemble muni d'une adhérence topologique. Les ouverts sont alors les complémentaires des parties stables pour l'adhérence.

En termes d'adhérences, une application d'un espace topologique dans un autre est continue si et seulement si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie.

Définition

La notion de limite, si elle existe, décrit le comportement qu’une fonction devrait avoir si elle était définie en ce point. L’exemple le plus simple est le cas d’une fonction définie sur un intervalle ouvert de  ; la limite est le concept qui permet de déterminer le comportement de la fonction aux bornes de cet intervalle.

Soit et deux espaces topologiques. Soit un sous-espace de muni de sa topologie induite et une fonction de dans . Soit enfin un point de et un point de . Alors est la limite de la fonction au point si et seulement si l’image réciproque d’un ouvert contenant contient un ouvert de contenant . Cet énoncé est équivalent à celui qui est donné dans l’article Voisinage. L’énoncé étant plus simple avec le formalisme des voisinages, c’est en général celui-là qui est utilisé.

Remarque 1 

La notion de limite est développée dans l’article Limite.

Remarque 2 

Si le point est élément de l’ensemble , alors la limite, si elle existe, est égale à et la fonction est continue en .

Propriétés

• On dit qu’un espace topologique est séparé ou de Hausdorff ou T₂ lorsque deux points distincts quelconques admettent des voisinages disjoints.
• On dit qu’un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue lorsqu’on peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement ouvert. On parle aussi d’espace quasi-compact.
• Un espace quasi-compact et séparé est dit compact.

Exemples

• Le premier exemple historique d’espace topologique est l’ensemble des nombres réels. Cet exemple est celui qui est à la base de la théorie des espaces topologiques. Il apparaît comme un cas particulier de la deuxième famille d’exemples donnés ici.
• Les espaces métriques et, en particulier, les espaces vectoriels normés sont des espaces topologiques.
• Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques, espace de Banach, de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire, compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes, groupe topologique, anneau topologique etc.).