Construction à la règle et au compas - Définition

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle et du compas . L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit à l'aide de ces deux instruments.

Cette conjecture va d'une part remettre en question la définition d'un nombre : les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs puisque la diagonale d'un carré de côté 1 est constructible, mais correspond au nombre √2 qui n'est pas rationnel, d'autre part engager la communauté mathématique dans la recherche de résolutions impossibles, comme la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. La recherche des nombres constructibles et des polygones constructibles débouchera, après le développement de l'algèbre et de la théorie de Galois, sur le théorème de Gauss-Wantzel sur les polygones constructibles et sur le théorème de Wantzel pour les nombres constructibles.

Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797) prouveront que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul.

La règle et le compas en architecture

Architectes médiévaux - Dictionnaire raisonné de l'architecture française (Viollet-le-Duc)

Les liens qui unissent les constructions à la règle et au compas avec l'architecture sont très étroits :

La géométrie offre plusieurs ressources à l'architecte : elle le familiarise avec la régle et le compas, qui lui servent surtout à déterminer l'emplacement des édifices. (Vitruve)

Au Moyen-Âge, le maître architecte est celui qui possède le savoir de la géométrie, il discute sur un pied d'égalité avec les dirigeants religieux. Dans une société où peu savent lire, le plan, construit à la règle et au compas, est le seul moyen de communication simple entre l'architecte et les ouvriers. Se pose cependant le problème de l'échelle puisque les unités de longueurs ne sont pas complètement normalisées. Sur le terrain s'active alors, avec son compas, le parlier ou maître de chantier qui fait le lien entre l'architecte et les ouvriers. Ceux-ci utilisent pour leur construction, un compas et une règle mais aussi, quand la taille des mesures est trop importante, le cordeau qui remplace indifféremment la règle (trait tiré au cordeau) et le compas. Associés à l'équerre, la règle et le compas deviennent alors le symbole de l'Architecte, maître architecte des cathédrales ou Architecte du monde. Ainsi les retrouve-t-on dans l'emblème de la franc-maçonnerie.

La règle et le compas en art

Le rôle de la construction à la règle et au compas dans les œuvres artistiques dépend beaucoup de l'époque et des courants artistiques.

Dans les icônes byzantines, la règle et le compas définissent le canon de la représentation. La tête des saints, par exemple, est construite sur la base de trois cercles concentriques : un pour le visage, l'autre pour les contour de la tête et le troisième pour l'auréole. La règle et le compas jouent le même rôle de canon dans la construction des mandalas dans le bouddhisme tibétain : construits initialement à l'aide d'une règle et d'un compas, ils sont ensuite réalisés en sable de couleur.

Lettre O - Francesco Torniello

À la Renaissance, l'Occident redécouvre les Éléments d'Euclide (traduction de 1482). Les artistes italiens voient alors dans les constructions à la règle et au compas une source d'harmonie. Léonard de Vinci inscrit son Homme de Vitruve dans un cercle et un carré. Albrecht Dürer, auteur du livre Instructions pour la mesure à la règle et au compas, construit son Adam et Ève à l'aide de cercles et de droites. En typographie également, les artistes essaient de trouver une codification harmonieuse des lettres romanes. Felice Feliciano (1460) semble être le premier à construire des lettres à la règle et au compas. Francesco Torniello, Luca Pacioli et Albrecht Dürer lui emboîtent le pas. Ce mouvement perdure jusqu'en 1764, date à laquelle Fournier, dans son Manuel de typographie, s'inscrit en faux contre l'idée que l'harmonie des lettres est due à leur construction rigoureuse. La beauté des lettres ne provient que de la qualité artistique de leur dessinateur.

La développement de la perspective demande une préparation géométrique de l'œuvre, mais les cercles et les droites ne sont alors qu'une grille qui permet à l'artiste de placer les formes au gré de son imagination et de sa sensibilté.

Vers 1900, naît un mouvement d’un genre nouveau avec Pablo Picasso et Georges Braque : le cubisme. Les formes sont fragmentées et s’inscrivent dans des configurations géométriques. Les artistes pensent que la beauté peut jaillir de la forme géométrique pure. Wassily Kandinsky, fondateur du Blaue Reiter et initiateur de l'art abstrait, crée en 1923 une œuvre purement géométrique Cercles dans un cercle. Victor Vasarely, un des maîtres de l’art abstrait géométrique et père du Op Art, généralise l'utilisation du compas et de la règle dans des tableaux qui recèlent des figures géométriques en donnant souvent une impression de volume.

La règle et le compas en géométrie

Quelques constructions à la règle et au compas

Parallèle et perpendiculaire

Parallèle : Il est possible de tracer la parallèle à la droite (AB) passant par le point C.

Construire le quatrième point d'un parallélogramme ABCX en traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA et un arc de cercle de centre A et de rayon BC.

Perpendiculaire : De même, il est possible de tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C.

Construire le symétrique du point C par rapport à la droite (AB). C'est le point d'intersection du cercle centre A et de rayon AC avec le cercle de centre B et de rayon BC.

Médiatrice d'un segment

La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment.

La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I.

• Théorème : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance de ses extrémités.
• Théorème réciproque : L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est la médiatrice de ce segment.

Ceci se voit aisément en remarquant que si l'on considère un point M de la médiatrice, les segments [AM] et [BM] sont symétriques par rapport à la médiatrice. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMI et IMB et montrer l'égalité de leurs hypoténuses.

Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite.

Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis on trace deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice.

Bissectrice d'un angle

Il conviendrait, plus correctement, de parler de bissectrice d'un secteur angulaire. Il s'agit de l'axe de symétrie de ce secteur.

1. Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
2. Pointer successivement le compas aux points d'intersection et tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
3. Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles. La bissectrice apparaît.

Il est donc possible de couper un angle en deux parts égales. Il n'est malheureusement pas possible de découper, à la règle et au compas, un angle en trois part égales. C'est le problème de la trisection de l'angle.

Géométrie du triangle

Le triangle est une figure emblématique de la géométrie euclidienne. Tous ses éléments remarquables : bissectrices, médiatrices, hauteurs, médianes, cercle d'Euler et droite d'Euler sont constructibles à la règle et au compas.

Polygones réguliers

Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et dont tous les côtés sont égaux. Il est aisé de construire à la règle et au compas le triangle, le carré et l'hexagone. Avec plus de difficultés, on peut construire le pentagone. On peut assez facilement doubler le nombre de côtés d'un polygone constructible en traçant des bissectrices et construire, par exemple, des polygônes à , à et à côtés. Il est à noter que même s'il est théoriquement possible de tracer des polygones à , à et à côtés, leur réalisation est difficile en pratique.

Restent parmi les polygônes à moins de 10 côtés, l'heptagone (7 côtés) et l'ennéagone (9 côtés) qui ne sont pas constructibles ; Il faudra attendre Gauss, puis Wantzel pour faire l'inventaire de tous les polygônes constructibles.

Nombres constructibles

Pour Euclide, un nombre constructible est un nombre associé à une longueur constructible. De nos jours, un nombre constructible est un nombre obtenu comme coordonnée d'un point constructible à partir d'un quadrillage. On sait maintenant que l'ensemble des nombres constructibles contient l'ensemble des nombres rationnels, mais est strictement inclus dans l'ensemble des nombres algébriques. On sait en particulier que π, nombre transcendant, n'est pas constructible (quadrature du cercle) et que ne l'est pas (duplication du cube)