Point de Lagrange - Définition

Préliminaires

On note M et m la masse des deux corps, la masse du premier étant supposée supérieure ou égale à celle du second. Les deux corps sont supposés être en orbite circulaire, leur séparation étant R. Les deux corps orbitent autour de leur centre de gravité commun. On note r et r les distances algébriques des deux corps par rapport à un axe orienté du corps 1 au corps 2 (c'est-à-dire que r va être négatif et r positif). Le centre de gravité est défini par l'équation

M₁r₁ + m₂r₂ = 0,

avec par définition, de la distance R,

r₂ − r₁ = R.

Ces deux équations ont pour solution

,

,

où on a noté M = M + m la masse totale du système.

Les deux corps orbitent l'un autour de l'autre à une vitesse angulaire ω, dont la valeur est donnée par la troisième loi de Kepler :

,

G étant la constante de gravitation.

Si l'on se place dans le référentiel tournant avec les deux corps, c'est-à-dire à la vitesse angulaire ω, un corps immobile sera soumis, outre aux forces gravitationnelles des deux corps, à la force centrifuge. Si on notre r le rayon vecteur de ce corps, la force centrifuge par unité de masse f à laquelle il sera soumis s'écrit

.

Équation fondamentale

La définition d'un point de Lagrange est que la somme des forces gravitationnelles et inertielles s'annule en ces points. En notant r le rayon vecteur du ou des points en question, on a ainsi

,

les doubles barres indiquant que l'on prend la norme des vecteurs considérés. On remplace ensuite la vitesse angulaire ω par sa valeur issue de la troisième loi de Kepler, ce qui donne

,

que l'on simplifie immédiatement par la constante de gravitation

.

C'est la résolution de cette équation qui donne les différents points de Lagrange.

Les deux cas à considérer

La projection de cette équation perpendiculairement au plan de l'orbite, dont la normale est donnée par un vecteur noté donne immédiatement

,

ce qui implique que l'ensemble des points de Lagrange est situé dans le plan de l'orbite. La résolution de l'équation se fait donc dans le plan orbital. Deux cas sont à considérer :

• celui où l'on cherche un point le long de l'axe formé par les deux corps,
• celui où l'on cherche un point en dehors de cet axe.

Le second cas s'avère être le plus simple à étudier.

Cas des points L et L

On suppose que le rayon vecteur r n'est pas parallèle à l'axe passant par les deux corps. On projette donc l'équation fondamentale perpendiculairement à cet axe, direction que l'on suppose définie par un vecteur noté . Par définition, cette direction étant perpendiculaire à l'axe reliant les deux corps, on a

.

L'équation fondamentale se réécrit donc

.

Les termes en se simplifient, ce qui donne

.

On définit maintenant la direction comme la perpendiculaire à r. Comme r n'est pas colinéaire à r et r, les quantités ne sont pas nulles. En projetant l'équation fondamentale le long de s, on obtient

.

Or, d'après le théorème de Thalès, les projections de r et r le long de sont dans le même rapport que les projections de ces vecteurs le long de l'axe reliant les deux corps. Il s'ensuit que l'équation précédente peut se réécrire

.

Le barycentre des deux corps implique, comme vu précédemment, que

M₁r₁ + m₂r₂ = 0.

La combinaison de cette équation et celle qui précède implique donc que les deux distances et sont identiques, leur valeur étant notée R' :

.

En injectant ce résultat sur la projection le long de r, il vient alors

.

En multipliant le tout par R'³ et en se souvenant que M est la somme des deux masses, on obtient finalement

,

ce qui donne au final

,

c'est-à-dire que les points cherchés forment un triangle équilatéral avec les deux corps du système. Ces triangles sont de plus inclus dans le plan orbital, ce qui donne deux points possibles, notés comme annoncé L et L, étant situé de part et d'autre de l'axe reliant les deux corps.

En utilisant le théorème de Pythagore, la distance D de ces deux points de Lagrange du centre de gravité du système s'écrit

,

ce qui donne

,

ce qui donne

.

En utilisant le fait que R = | r₁ | + r₂, il vient

.

La distance est donc supérieure aux distances de chacun des deux corps au centre de gravité du système. Ces points de Lagrange sont donc au-delà de l'orbite du corps le moins massif et ne sont pas strictement situés sur celle-ci, quoique que ce soit quasiment le cas dans la limite où la masse du corps le plus léger devient négligeable par rapport à celle de son compagnon.

Cas des points L à L

Dans le cas où l'on considère des points de Lagrange situés sur l'axe reliant les deux corps, trois sous-cas sont à considérer :

1. Le cas où le ou les points sont entre les corps 1 et 2 ;
2. Le cas où le ou les points sont à l'opposé du corps 2 par rapport au corps 1 ;
3. Le cas où le ou les points sont à l'opposé du corps 1 par rapport au corps 2 .

Dans ces trois cas, l'équation fondamentale se réécrit de la façon suivante :

• Cas 1 : la projection des deux forces sur l'axe a des signes opposés (la projection de la force exercée par le corps 1 est négative, celle de la force exercée par le corps 2 est positive), ce qui donne

  ,

avec

r₁ < r < r₂.

• Cas 2 : la projection des deux forces sur l'axe est négative, ce qui donne

  ,

avec

r₁ < r₂ < r.

• Cas 3 : la projection des deux forces sur l'axe est positive, ce qui donne

  ,

avec

r < r₁ < r₂.

Chacune de ces trois équations peut se ramener à une équation polynomiale du cinquième degré, pour laquelle il n'existe pas de solution analytique exacte, sauf cas particulier (comme celui des deux masses identiques par exemple).

L'unicité des solutions dans chacun des trois cas se déduit du fait que l'équation à résoudre sur l'équilibre des forces dérive d'un potentiel U, donné par

.

Ce potentiel représente des pôles en r et r, et correspond en dehors de ces valeurs à la somme de trois termes concaves et est donc localement concave. Il ne possède donc qu'un seul extrême local dans chacun des domaines où il est défini, c'est-à-dire dans chacun des trois cas cités plus haut.

Forme réduite et solution dans le cas où le rapport entre les masses est faible

Quand le rapport entre m et M (ou entre m et M) est faible, on peut trouver une solution approchée pour la position de chacun des points en effectuant un développement limité à partir d'une solution approchée facile à trouver. Pour simplifier les notations, on effectue un changement d'échelle afin d'exprimer toutes les longueurs en unité de la séparation R et les masse en unité de la masse totale M. On pose ainsi

u = r / R,

et

u_1,2 = r_1,2 / R,

et on définit le petit paramètre q par

,

à partir de quoi on peut exprimer

M₁ / M = 1 − q,

u₁ = q,

u₂ = 1 − q.

Dans ce cas là, les trois équations écrites ci-dessus prennent la forme plus simple

• Cas 1 :

  ,

avec

− q < u < 1 − q.

• Cas 2 : la projection des deux forces sur l'axe est négative, ce qui donne

  ,

avec

1 − q < u.

• Cas 3 : la projection des deux forces sur l'axe est positive, ce qui donne

  ,

avec

u < − q.

Le point L

Quand la masse du corps 2 est négligeable, l'attraction de celui-ci est négligeable sauf si la particule d'épreuve est très proche. Or, quand l'attraction du corps 2 est négligeable, l'équilibre entre l'attraction du corps 1 et la force centrifuge est tel que la distance du point d'équilibre est de l'ordre de R. Quand le point d'équilibre est situé à l'opposé du corps 2, on est dans le cas du point de Lagrange L, qui est donc, en gros, situé à l'opposé du corps 2 par rapport au corps 1. Dans le cas contraire, on va donc supposer que le point d'équilibre est plutôt proche du corps 2 (et donc à nouveau situé à la distance R du corps 1), mais néanmoins suffisamment éloigné pour que l'attraction du corps 2 exercée sur la particule d'épreuve reste petite par rapport à celle du corps 1. On pose donc à partir de la forme réduite

u = u₂ + ε' = 1 − q + ε,

où ici ε' est une quantité petite et négative (on suppose ici que le point est entre les deux corps). L'équation réduite se transforme alors en

.

On effectue un développement limité au premier ordre de l'attraction produite par le corps 1 :

.

Les termes en 1 - q se simplifient, et il reste

.

Toujours en ne gardant que les termes d'ordre le plus bas en q, il vient

.

On peut par la suite continuer le calcul, en développement l'écart du point au corps 2 en puissances de ε'. On pose ainsi

.

L'équation fondamentale réduite donne alors

.

On peut factoriser le second terme avec q / ε'², que l'on peut remplacer par sa valeur, soit -3 ε'. On obtient alors

− (1 − q)(1 + ε' + xε'²) ^{− 2} − 3ε'(1 + xε') ^{− 2} + 1 − q + ε' + xε'² = 0.

On effectue ensuite un développement limité des deux premiers termes, au second ordre pour le premier et au premier ordre pour le suivant, ce qui donne

− (1 − q)(1 − 2ε' − 2xε'² + 3ε'²) − 3ε'(1 − 2xε') + 1 − q + ε' + xε'² = 0,

d'où on déduit que x vaut un tiers, ce qui donne

.

Le développement peut ensuite être continué suivant la même procédure. À l'ordre suivant, on a ainsi

.

Le point L

Le cas du point L se résout exactement comme dans la section précédente, si ce n'est que le signe du second terme de l'équation fondamentale est négatif. On pose donc

u = 1 − q + ε,

ε étant cette fois-ci supposé petit et positif, et on a ainsi

.

La résolution à l'ordre le plus bas donne

,

qui après annulation des termes donne

,

soit

.

Cela correspond au signe près au même résultat que précédemment. La suite du développement de la solution se fait de même que précédemment. On part de

u = 1 − q + ε + xε²,

et on injecte ce résultat dans l'équation fondamentale

.

Comme précédemment, on transforme cette expression selon

− (1 − q)(1 − 2ε − 2xε² + 3ε²) − 3ε(1 − 2xε) + 1 − q + ε + xε² = 0,

ce que l'on résout en

,

soit

.

Cette expression est identique à celle du premier point de Lagrange en remplaçant ε' par ε, mais ces deux points sont dissymétriques : comme le signe de ε, ε' change entre le point L et le point L, la correction du second ordre, toujours positive, rapproche le point L du corps 2 alors qu'elle éloigne le point L : les deux points ne sont plus à égale distance du corps 2. Pour la Terre, le rapport de masse est de 1 / 300 000, et ε est de l'ordre 0,01, ce qui place les deux points par rapport à la Terre à une distance d'environ un centième de la distance Terre-Soleil, soit dans les 1 500 000 kilomètres. Le terme de second ordre est de l'ordre d'un trente-millième de la distance Terre-Soleil, soit dans les 5 000 km. Le point L est donc environ 10 000 km plus près de la Terre que ne l'est L.

Enfin, on peut poursuivre le développement à l'ordre supérieur, ce qui donne, tous calculs faits

.

Le point L

Dans le cas 3, qui va correspondre au point L, l'équation fondamentale s'écrit

.

Comme le point est supposé au-delà du corps 1 par rapport au corps 2, il est plus proche du corps le plus massif, dont l'attraction va être prépondérante par rapport à l'autre corps. Dans la situation où l'on se place, le point recherché a donc sa position approximée par

.

La solution approchée de cette équation est bien sûr

.

Pour trouver les écarts à cette valeur, on écrit dans l'équation fondamentale

u = − 1 + v,

et on résout l'équation en prenant en compte les premiers termes en q. On obtient ainsi

.

Les quantités v et q étant petites devant R, le premier terme s'écrit

.

Le second terme étant négligeable par rapport au précédent (il est proportionnel à q), il peut s'approximer en

.

En combinant l'ensemble de ces termes, on obtient

,

ce qui donne

,

c'est-à-dire

.

On peut sans difficulté continuer ce calcul en posant désormais

,

w étant cette fois proportionnel à q². L'équation fondamentale devient alors

,

c'est-à-dire

.

En développant cette expression au second ordre en q, on trouve

,

c'est-à-dire que w est au plus en q³. En refaisant le calcul dans ce cadre là, on trouve finalement

.

Il est rarement utile de pousser le calcul jusque là : dans une configuration Soleil-Planète, le dernier terme correctif est au mieux de l'ordre !)^-9, puisque le plus gros rapport de masse Planète-Soleil, dans le cas de Jupiter est de l'ordre d'un millième. Le terme q³ est donc, pour Jupiter, de l'ordre d'un milliardième, ce qui, au vu de la taille de son orbite, correspond à une correction d'une cinquantaine de mètres étant donné que la fraction en facteur de q³ est de l'ordre d'un vingtième. Pour le système Terre-Soleil (distance de l'ordre de 150 millions de kilomètres, rapport de masse de l'ordre de 1 / 300 000), la dernière correction est une fraction de micron !