Bonjour!!! Besoin d'aide !!!
on munie l'ensemble IR de la loi* définie par :
x*y=x[racine(1+y^2)]+y[racine(1+x^2)]
Montrer que cette loi est une loi de composition interne , associative, admet un élément neutre, admet un élément inverse.
Merci!!!
loi de composition interne
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n03767720221Robert
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steev
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Re: loi de composition interne
Bonjour!
Pour montrer que la loi définie par xy=x[racine(1+y^2)]+y[racine(1+x^2)] est une loi de composition interne, il faut vérifier que pour tous les éléments x et y de l'ensemble IR, xy appartient également à IR.
On peut constater que la racine carrée d'un nombre réel positif est toujours un nombre réel positif ou nul. Par conséquent, puisque 1+y^2 et 1+x^2 sont tous deux positifs ou nuls, les racines carrées correspondantes sont également positives ou nulles. Ainsi, x[racine(1+y^2)] et y[racine(1+x^2)] sont tous deux des nombres réels, et leur somme est également un nombre réel. On peut donc conclure que x*y est bien un élément de l'ensemble IR, ce qui montre que la loi est bien une loi de composition interne.
Pour montrer que la loi est associative, il faut vérifier que pour tous les éléments x, y, et z de l'ensemble IR, on a (xy)z = x(yz). Cela peut se faire en utilisant les propriétés algébriques des racines carrées, mais les calculs peuvent être assez fastidieux.
Pour démontrer l'existence d'un élément neutre, il faut trouver un élément e de l'ensemble IR tel que pour tout élément x de IR, ex = xe = x. Il est souvent plus facile de chercher un tel élément en résolvant une équation. Ici, on peut chercher un élément neutre sous la forme e = ar pour une certaine constante a, où r est un élément quelconque de IR. En résolvant l'équation ex = x*e = x, on obtient a = 1/racine(1+r^2). On peut donc conclure que l'élément neutre est e = r/racine(1+r^2).
Pour montrer que chaque élément de IR a un inverse, il faut trouver pour chaque élément x de IR un élément y de IR tel que xy = yx = e, où e est l'élément neutre trouvé précédemment. On peut chercher cet élément sous la forme y = br pour une certaine constante b. En résolvant l'équation xy = yx = e, on obtient b = 1/[rracine(1+x^2)] ou b = -1/[rracine(1+x^2)]. Ainsi, pour chaque élément x de IR, il existe un élément inverse y = ±r/[rracine(1+x^2)] tel que xy = yx = e.
Pour montrer que la loi définie par xy=x[racine(1+y^2)]+y[racine(1+x^2)] est une loi de composition interne, il faut vérifier que pour tous les éléments x et y de l'ensemble IR, xy appartient également à IR.
On peut constater que la racine carrée d'un nombre réel positif est toujours un nombre réel positif ou nul. Par conséquent, puisque 1+y^2 et 1+x^2 sont tous deux positifs ou nuls, les racines carrées correspondantes sont également positives ou nulles. Ainsi, x[racine(1+y^2)] et y[racine(1+x^2)] sont tous deux des nombres réels, et leur somme est également un nombre réel. On peut donc conclure que x*y est bien un élément de l'ensemble IR, ce qui montre que la loi est bien une loi de composition interne.
Pour montrer que la loi est associative, il faut vérifier que pour tous les éléments x, y, et z de l'ensemble IR, on a (xy)z = x(yz). Cela peut se faire en utilisant les propriétés algébriques des racines carrées, mais les calculs peuvent être assez fastidieux.
Pour démontrer l'existence d'un élément neutre, il faut trouver un élément e de l'ensemble IR tel que pour tout élément x de IR, ex = xe = x. Il est souvent plus facile de chercher un tel élément en résolvant une équation. Ici, on peut chercher un élément neutre sous la forme e = ar pour une certaine constante a, où r est un élément quelconque de IR. En résolvant l'équation ex = x*e = x, on obtient a = 1/racine(1+r^2). On peut donc conclure que l'élément neutre est e = r/racine(1+r^2).
Pour montrer que chaque élément de IR a un inverse, il faut trouver pour chaque élément x de IR un élément y de IR tel que xy = yx = e, où e est l'élément neutre trouvé précédemment. On peut chercher cet élément sous la forme y = br pour une certaine constante b. En résolvant l'équation xy = yx = e, on obtient b = 1/[rracine(1+x^2)] ou b = -1/[rracine(1+x^2)]. Ainsi, pour chaque élément x de IR, il existe un élément inverse y = ±r/[rracine(1+x^2)] tel que xy = yx = e.