barycentres de 2 points

[pitch]

bonjour a tous voila j'ai un exercice de maths concernant les barycentres et je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil!!

énoncé: soient x et y deux réels quelconques non nuls tels que x + y différent de 0.
on désigne G1 le barycentre du système pondéré: [A(x); B(y)] et G2 le barycentre du système pondéré: [A(y); B(x)]. Démontrer que les points G1 et G2 sont symétriques par rapport au milieu I du segment [AB].
on pourra utiliser la propriété d'associativité du barycentre ou raisonner vectoriellement.

[DerYcK]

essaye de montrer que IG1 = G2I (c'est les vecteurs dont je te parle pas des segments)

[bongo1981]

G1 = bar(A,x) (B,y)
G2 = bar(A,y) (B,x)
I = bar(A,1) (B,1)

donc I = bar(A,x) (B,y) (A,y) (B,x) (A,1-x-y) (B,1-x-y)
I = bar(G1,x+y) (G2,x+y) (A,1-x-y) (B,1-x-y)
I = bar(G1,x+y) (G2,x+y) (I,2-2x-2y)

Donc I = bar (G1,1) (G2,1)
CQFD

[DerYcK]

donc I = bar(A,x) (B,y) (A,y) (B,x) (A,1-x-y) (B,1-x-y)
I = bar(G1,x+y) (G2,x+y) (A,1-x-y) (B,1-x-y)

Je comprends pas comment tu passes de "donc I = bar(A,x) (B,y) (A,y) (B,x) (A,1-x-y) (B,1-x-y)" à "I = bar(G1,x+y) (G2,x+y) (A,1-x-y) (B,1-x-y)"

[bongo1981]

Quand tu as I bar (A,1) (B,1) (C,1)
Tu peux remplacer (A,1) (B,1) par I leur milieu, affecte d'un poids egal a 2.

C'est juste une ecriture formelle, en developpant avec un calcul vectoriel habituel tu retombes sur la meme chose.

[DerYcK]

Oui mais si on a I= bar(A,x) (B,y)
pourquoi on a ensute I= bar (G,x+y) ?
Le poids de G a savoir x+y je comprends mais ce qui me pose probleme c'est si x et y sont différents alors G n'est pas au milieu de [AB] non ? Donc comment peut-on dire I= bar (G,x+y) ?

[bongo1981]

Ah non tu ne peux definir de barycentre qu'avec au moins 2 points.

[DerYcK]

Euh oui pardon ^^ dsl je suis un peu fatigué
Est-ce que I = bar(A,x) (B,y) (A,y) (B,x) (A,1-x-y) (B,1-x-y) c'est la meme chose que :
I= bar (A, x) (B, y)
I= bar (A, y) (B, x)
I= bar (A, 1-x-y) (B, 1-x-y) ?

[bongo1981]

Non, tu vois bien que si tu remplaces x et y par des nombres particuliers tu ne peux avoir d'egalite.
Si tu veux faire cette reduction, tu dois additionner les poids de chaque point, des A avec des A, des B avec des B etc...
Dans ce cas particulier tu retomberas sur l'enonce.

[DerYcK]

Hum oui ok

donc I = bar(A,x) (B,y) (A,y) (B,x) (A,1-x-y) (B,1-x-y)
I = bar(G1,x+y) (G2,x+y) (A,1-x-y) (B,1-x-y)
I = bar(G1,x+y) (G2,x+y) (I,2-2x-2y)

Pour passer de la première a la deuxième ligne en fait on remplace (A, x) (B, y) par (G1, x+y) ?
Si c'est comme ça j'ai compris.

[bongo1981]

c'est ca

[DerYcK]

Ah !
Et bien une fois de plus merci Bongo ! Et désolé si mes question peuvent parfois apraitre un peu ...... !
Allez a la prochaine merci !