enigme mathématique

[Khainyan]

tu m'as rien fait toi même... et si tu me faisait les calculs? (11g de sel dans 1L d'eau par exemple )
bon osef en fait...

[KiNidoz]

Oui hein !! Vu comme je suis une bête en math

[Khainyan]

c'est de la thermo, même pas des maths... bon mes marmottes!

[$$$]

y a des problèmes sinon.. c'comme des énigmes:
soit trois marmottes A,B et C qui se déplacent (en mangeant) de tel sorte que A va toujours vers B, B vers C et C vers A... (elles ont la même vitesse).
A quel instant se rencontrent elles?...

Salut, ça dépend si elles se trouvent sur un cercle ou non, car il est possible qu'elles ne se trouvent pas sur un cercle, et donc elles se déplacent sur un arc de cercle (pense à un triskel)

Il me semble (enfin... je suis sûr) que trois points sont cocycliques (appartiennent au même cercle) sauf si ces 3 points se trouvent dans une configuration particulière : quand ces points sont alignés.
Pour la réponse à l'énigme j'en sais trop rien... j'ai pas encore vraiment réfléchi

Salut, je me disais ça :



A va vers B, qui va vers C, qui va vers A...Ils finissent par se rencontrer non ?
Et oui, ils se trouvent sur un cercle ou aux sommets d'un triangle équilatéral.

[Khainyan]

yaiseuh. Mais ma question c'était à quel instant ils se rencontrent pas la courbe :/ (tiens t'as qu'à me dresser son équation au passage).

[buck]

si pas d'erreur:
soit d la distance AB
v la vitesse de chacun

ABC est un triangle equilateral et est inscrit dans un cercle de rayon R=d*sqrt(3)/3 (sqrt= racine carre)
A chaque pas fait, les points se dirigent les uns vers les autres et se rencontrent au centre du triangle . La trajectoire decrite par chacun decrit un arc de cercle. Cet arc de cercle appartient a un cercle de rayon R (retrouvable par construction geometrique) et est egal a 1/6 du perimetre de ce cercle (propriete des triangles equilateraux)

Dc la distance parcourue est
D=2*pi*R/6=pi*R/3
avec R=d*sqrt(3)/3

v=D/t dc si t different de 0 (et v aussi)
t=D/v=pi*d*sqrt(3)/(9*v)


Bon ok la demo est un poil bancale mais a priori ca doit etre le bon resultat

[$$$]

$$$ ne comprend pas très bien les démonstrations mathématiques, il les a oubliées à l'école.

Pour résumer, ma logique semble correcte, mais mon raisonnement est inexistant.

[Khainyan]

buck tu me justifie en rien que c'est un arc de cercle... qu'est ce que t'en sais? (surtout que avec certaines conditions initiales je suis sûr que c'est pas un arc de cercle..mais on sort du problème.)
Donc je veux une vrai démo .

[bongo1981]

Je trouve un temps infini... mais je dois m'être planté...

[fffred]

Je trouve t = 2 * R / (sqrt(3) V)

Mais je me suis certainement planté ...

[Michel]

Comme leurs distances restent constamment égales entre-elles, les marmottes restent sur un triangle équilatéral qui devient de plus en plus petit et qui tourne. J'ai vaguement essayé de dessiner çà et ça me donne des trajectoires qui n'ont pas vraiment l'allure de cercles...
.... A part ça

[Ze Venerable]

t=L/(V*cos(30)) ? L est leur distance à t0 du centre du triangle équilatéral

[Khainyan]

ah oui bongo tu t'es planté. michel ton raisonnement est bon: conservation du triangle équilatéral. mais aussi conservation des tous les angles.
On appelle 0 le centre de triangle équlatéral qui correspond de manière évidente au point où ils vont de rencontrer. On se place en coordonnées polaires... et je vous laisse continuer
ensuite équation d'la courbe, distance parcourue...

[bongo1981]

J'ai trouvé mon erreur... dans mon équa diff, la vitesse tend vers 0...
Par contre là je tombe sur une équation... pas triviale à résoudre :


zA c'est évidemment l'affixe du point A (ABC le triangle équilatéral qui a pour centre O).

[bongo1981]

En passant en module et argument, j'arrive à résoudre l'équation :

où rho_0 est le rayon du cercle circonscrit. Je m'emballe un peu... je trouve :

où d est le côté du triangle équilatéral

[Ze Venerable]

me suis mis en coord cylindrique, le vecteur vitesse fait toujours un angle de 30° avec le vecteur er. Donc d/dt (r) = V*cos(30)

[Khainyan]

oulah.. c'quoi ça bongo?
bon euh la solution..:
alors temps: t1= 2d/3V où d désigne la longueur d'un côté du triangle initial et V la norme de la vitesse (qui est la même pour tous).
et la distance parcourue: d1= (2/3)d

Démo:on se place dans le repère polaire (O,r;T) (T comme téta)
La droite OA correspond à l'axe Oy du repère orthonormé cartésien associé( l'axe Ox ne correspond à rien du tout). On appelle Ta l'angle (Ox,OA).
On a |Va|=|Vb|=|Vc|=V quelque soit t.
Et Tc=Tb+(2pi/3)=Ta+(4pi/3)
Or Va(t)=dRa/dt er + 2RA dTa/dt eT où er, eT vecteurs unitaire du repère polaire.
Il y a une autre relation que je vous laisse trouver et on obtient Va(t)=-sqrt(3)/2 V +R(0)
D'où t= 2R(0)/(sqrt(3)V) et R(0)=d/sqrt(3)

d'où le résultat.

[bongo1981]

alors temps: t1= 2d/3V où d désigne la longueur d'un côté du triangle initial et V la norme de la vitesse (qui est la même pour tous).

J'ai un racine de 3 en facteur en plus

Démo:on se place dans le repère polaire (O,r;T) (T comme téta)
La droite OA correspond à l'axe Oy du repère orthonormé cartésien associé( l'axe Ox ne correspond à rien du tout). On appelle Ta l'angle (Ox,OA).
On a |Va|=|Vb|=|Vc|=V quelque soit t.
Et Tc=Tb+(2pi/3)=Ta+(4pi/3)

Ca tu peux le faire indépendamment de la position de A

Or Va(t)=dRa/dt er + 2RA dTa/dt eT

ch'uis pas trop d'accord pour la vitesse, pourquoi un facteur 2 ?

où er, eT vecteurs unitaire du repère polaire.
Il y a une autre relation que je vous laisse trouver et on obtient Va(t)=-sqrt(3)/2 V +R(0)

là c'est pas trop homogène ? si ?

D'où t= 2R(0)/(sqrt(3)V) et R(0)=d/sqrt(3)

d'où le résultat.

Je vais essayer d'expliquer comment je fais... j'ai probablement fait une erreur mais je trouve pas

Dans le plan complexe on a les points A, B, C d'affixes respectives zA, zB, zC.
L'on a défini le vecteur vitesse de A : dzA/dt qui est dirigé vers zB (donc c'est zA tourné de 2pi/3), d'où l'équation :


Pour la résolution, je décompose en module et argument (ce qui revient au même que les coordonnées polaires au final) :

L'équation devient :

[Michel]

oulah.. c'quoi ça bongo?

Démo:on se place dans le repère polaire (O,r;T) (T comme téta)
La droite OA correspond à l'axe Oy du repère orthonormé cartésien associé( l'axe Ox ne correspond à rien du tout). On appelle Ta l'angle (Ox,OA).
On a |Va|=|Vb|=|Vc|=V quelque soit t.
Et Tc=Tb+(2pi/3)=Ta+(4pi/3)
Or Va(t)=dRa/dt er + 2RA dTa/dt eT où er, eT vecteurs unitaire du repère polaire.
Il y a une autre relation que je vous laisse trouver et on obtient Va(t)=-sqrt(3)/2 V +R(0)
D'où t= 2R(0)/(sqrt(3)V) et R(0)=d/sqrt(3)

d'où le résultat.

oulah.. c'quoi ça Khainyan ?

Je ne sais pas vous, mais moi je demanderais un dessin et pas d'impasse dans la démo....
("Il y a une autre relation que je vous laisse trouver")

[Khainyan]

erreur dans ma formule... c'est v(t)=sqrt(3)/2V*t+R(0)
lol je ferais un dessein à l'occaz.. l'autre relation j'vous laisse la trouver cer faut un dessein pour

[Ze Venerable]

(donc c'est zA tourné de 2pi/3)

5pi/6

[bongo1981]

(donc c'est zA tourné de 2pi/3)

5pi/6

Sûr ?
Pour moi, on cherche l'angle entre OA et AB.
En passant par les affixes, cela revient à regarder zB-zA = zA(exp(i 2pi/3) -1) = zA(-3/2 +i sqrt(3)/2) = sqrt(3)zA (-sqrt(3)/2 +i/2)
Ah vi vi c'est bien 5pi/6.

Du coup si je refais mes calculs...

d rho/dt = -v*sqrt(3)/2
rho(t) = rho_0 - sqrt(3)/2*vt

D'où :
T = rho_0/v * 2/sqrt(3) = d/v * sqrt(3)/3 * 2/sqrt(3) = 2/3 * d/v

Je retrouve bien la même chose.
Merci Ze Venerable

[Khainyan]

bon la distance et paramétrage de la courbe maintenant siouplait.

[Michel]

je me permets d'insister.... un p'tit schéma siouplait d'abord...

[bongo1981]

parcourir à la vitesse v pendant la durée 2/3 d/v ça donner 2/3 d (c'est assez évident ).

rho(t) = rho_0 - sqrt(3)/2*vt

On doit résoudre l'autre équation en theta :
dtheta/dt = v/(rho_0*2) / (1 -sqrt(3)/2 * vt/rho_0)

theta(t) = theta_0 + 1/sqrt(3) * ln(1-sqrt(3)/2 * vt/rho_0)